¿Por qué es así con los paseos aleatorios?

Question

Sea $S_n=\sum_n{X_n}$ un paseo aleatorio con $P[X=1]=p=1-P[X=-1]$ . Demostrar que para cualquier $k \in Z$ $P[\cup_{n \geq1} \{S_n\geq k\}]= (P[\cup_{n \geq1} \{S_n\geq 1\}])^k$

No entiendo por qué es así, ¿debo utilizar el principio de reflexión para demostrarlo?

Gracias por su apoyo.

Answer 1

No sé cómo utilizar el principio de reflexión para demostrarlo. Podría ser más fácil pensar de esta manera: para que cualquier paseo vaya de $0$ a $k$ debe, a su vez, pasar de $0$ a $1$ entonces de $1$ a $2$ ..., entonces de $k-1$ a $k$ .

A la inversa, cualquier secuencia de paseos desde $0$ a $1$ pueden unirse de extremo a extremo para formar una única ruta desde $0$ a $k$ .

Así que..,

\begin{align} P(\cup_{n\geq 1} \{S_n\geq k\}) &= P(\text{Walk from $0$ to $1$}\;\cap\;\text{Walk from $1$ to $2$}\;\cap\;\cdots\cap\text{Walk from $k-1$ to $k$}) \\ &= P(\text{Walk from $0$ to $1$})\;P(\text{Walk from $1$ to $2$})\cdots P(\text{Walk from $k-1$ to $k$}) \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{by independence of the separate sub-walks} \\ &= P(\text{Walk from $0$ to $1$})\;P(\text{Walk from $0$ to $1$})\cdots P(\text{Walk from $0$ to $1$}) \\ &= (P[\cup_{n \geq1} \{S_n\geq 1\}])^k. \end{align}