Así que he encontrado este extracto en "intro to cyclotomic fields" de Washington en la página 7. Quiere demostrar que $Z[\zeta_{23}]($ el anillo de los enteros) no es un U.F.D. Así que entiendo que es suficiente para demostrar que $Q(\zeta_{23})$ contiene un ideal no principal. Tenemos que el primo 2 se divide en $Q(\sqrt{-23})$ como sigue, $(2)_R=\mu \tilde{\mu}$ donde $\mu=(2,\frac{1+\sqrt{-23}}{2})$ . Entonces deja que P sea un ideal primo de $Q(\zeta_{23})$ que se encuentra por encima de $\mu$ y afirma que no es principal. Demuestra esta afirmación de la siguiente manera: La norma de $Q(\zeta_{23})$ a $Q(\sqrt{-23})$ es $\mu^f$ donde $f$ es el grado de la extensión de campo de la clase de residuo. No entiendo qué significa esto, ¿tiene algo que ver con el grado intercial? Luego dice que $f$ divide el [ $Q(\zeta_{23})$ : $Q(\sqrt{-23})$ ]=11. De nuevo no entiendo dónde está esta restricción de $f$ surge de. A continuación afirma que $\mu^{11}$ y $\mu$ no son principales, lo que me parece bien. He considerado que la norma es $\mu^f$ donde $f$ es el grado relativo de inercia pero P no es el único ideal por encima de $\mu$ ¿por qué $f$ ¿necesitas dividir 11? No entiendo muy bien la teoría de la ramificación, así que pido disculpas si me estoy perdiendo algo sencillo.
Respuesta
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Sea $A$ sea un dominio Dedekind con campo de fracciones $K$ y $B$ su cierre integral (de nuevo un dominio Dedekind) en una extensión de Galois $L$ de $K$ .
Un ideal primo $p$ de $A$ tendrá en cuenta $B$ como $pB = P_1^{e_1}...P_g^{e_g}$ .
$e(P/p)$ se denomina índice de ramificación y $f(P/p)$ es el grado de la extensión del campo $(B/P) / (A/p)$ llamado grado de la clase de residuo.
Ahora dejemos que $[L:K] =m$ . Entonces $m = efg$ . Una prueba esquemática es la siguiente:
$\sigma \in \operatorname{Gal}(L/K)$ mapea un ideal primo $P$ de $B$ a otro ideal primo $\sigma P$ . Si $P$ se encuentra por encima de $p$ entonces $\sigma P$ también estará por encima de $p$ . Así que $f(\sigma P/p) = f(P/p)$ .
Queda por demostrar que el grupo de Galois actúa transitivamente sobre ideales primos de $B$ arriba $p$ . Supongamos que $P$ no es conjugado con $Q$ ambos ideales primos situados sobre $p$ . Luego está $\beta \in Q$ con $\beta \notin \sigma P$ para todos $\sigma$ . Sea $b = \operatorname{Norm}(\beta) = \prod \sigma \beta$ . Esto radica en $A$ y puesto que $\beta \in Q$ también se encuentra en $Q$ y por tanto en $Q \cap A = p$ .
Por otro lado, $\beta \notin \sigma^{-1}P$ para todos $\sigma$ Así que $\sigma \beta \notin P$ . Pero $\prod \sigma \beta \in p \subset P$ . Esto contradice la primalidad de $P$ .
Así que $\operatorname{Gal}(L/K)$ actúa de forma transitoria y, por tanto $f$ divide $m$ .
Mi prueba está tomada básicamente de las notas ANT de J. Milne pp.58. Están disponibles en su sitio web. En p.67 motiva muy bien por qué la norma se define de la manera que es, también.
