Incongruencia entre dos fórmulas de energía potencial gravitatoria que no dan el mismo resultado

Question

Según este sitio la forma general de la Energía Potencial Gravitatoria de la masa $m$ es

$$U=-\frac{GMm}{r}\tag{1}$$ donde $G$ es la constante de gravitación, $M$ es la masa del cuerpo que atrae, y $r$ es la distancia entre sus centros.

Sin embargo, estoy aprendiendo Astrofísica en este momento y en la derivación de la Teorema de Virial He encontrado esta definición alternativa de la energía potencial gravitatoria $\Omega$

$$\Omega=-\int_{m=0}^M \frac{Gm}{r}\mathrm{d}m\tag{2}$$

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Así que mi pregunta es la siguiente:

Si sigo adelante e integro $(2)$ Me parece que $$\Omega=-\left[\frac{Gm^2}{2r}\right]_{m=0}^{m=M}=-\frac{GM^2}{2r}\ne U$$

Pero a menos que me equivoque, $\Omega$ debe sea igual a $U$ .

¿Por qué las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ aparentemente incoherente por dar resultados diferentes?

He intentado buscar una explicación en Internet, pero todos los sitios que he encontrado dan el mismo resultado, como por ejemplo éste en la página 6.

Por lo tanto, ¿podría alguien explicarme por qué me encuentro con que $U\ne\Omega\,$ ?

Answer 1

Hay dos problemas con las manipulaciones que has hecho.

En primer lugar, las variables de la ecuación (2) tienen nombres ambiguos. La ecuación (2) calcula la energía potencial entre una sola masa $m$ y una distribución de masas con masa total $M$ . Entonces la ecuación debería ser $$\Omega = - Gm \int \frac{dM}{R}.$$ Si en su lugar escribimos la diferencial como $dm$ Parece que $m$ también se está integrando. El resultado es un factor adicional sin sentido de $1/2$ cuando se realiza la integración.

A continuación, la integral sobre $dM$ no debe realizarse ingenuamente como si $R$ es constante, $$\int \frac{dM}{R} \neq \frac{M}{R}$$ en general. La cuestión es que cada pieza de masa $dM$ tiene su propio radio $R$ Así que $R$ debe considerarse en función de $M$ . Si esto no tiene sentido, piensa en el caso discreto, $$\sum_i \frac{m_i}{R_i}$$ donde un radio $R_i$ se asocia con cada bit de masa $m_i$ .

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En tu caso particular, donde estamos pensando en dos masas puntuales separadas por una distancia $R$ la cantidad $R$ en el integrando realmente es constante, así que podemos sacarlo para $$\Omega = - \frac{Gm}{R} \int dM = -\frac{GMm}{R}$$ como se esperaba. Para una configuración más general, parametrizaríamos las masas y los radios de algún modo para obtener una integral concreta, por ejemplo, podríamos utilizar la regla de la cadena para $$\int \frac{dM}{R} = \int \frac{dM}{dR} \frac{dR}{R}$$ donde $dM/dR$ nos dice la cantidad de masa en cáscaras esféricas delgadas de radio $R$ . Explico cómo hacer este tipo de integral un poco más en esta respuesta .

Answer 2

Estas dos fórmulas significan dos cosas diferentes, la primera $$U = - \frac{GMm}{r}$$ calcula el potencial gravitatorio entre dos cuerpos de masa diferentes $M$ y $m$ .

La segunda fórmula $$\Omega = -\int_{m=0}^M \frac{G \,m \,\mathrm{d}m}{r}$$ te da la energía potencial gravitatoria que tiene un objeto extendido, que es la diferencia de energía entre el estado en el que todas las partes del objeto están infinitamente lejos unas de otras y el estado en el que el objeto está completamente ensamblado.

Answer 3

Para hallar la energía potencial de ensamblaje de una esfera de radio $R$ y masa $M$ es decir, equivalente a la energía liberada cuando una masa $M$ comienza en el infinito como masas infinitesimales y se ensambla como una esfera de radio $R$ debe proceder como se indica a continuación.

Así que has reunido una masa $m = \dfrac 4 3 \pi \rho r^3$ y ahora añadimos una cáscara de masa $4\pi r^2 \rho dr$ y espesor $dr$ que se mueve desde el infinito hasta el radio $r$ y ahora cambiamos los límites de integración de $m=0$ y $m=M$ a $r = \infty$ y $r=R$ el radio final de la esfera.

$$\Omega=-\int _\infty^R\dfrac{G\left(\dfrac 4 3 \pi \rho r^3 \right)\left( 4\pi r^2 \rho dr\right)}{r} = - \dfrac {3GM^2}{5R}$$

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$-\frac{GM^2}{2r}$ es la energía potencial de dos masas esféricas, cada una de masa $M$ y radio $r$ cuando su separación entre centros es $2r$ .

Answer 4

[ Cuando terminé de escribir esta respuesta y la publiqué, ya se habían publicado otras dos. Dejaré esto aquí aunque llegue tarde a la fiesta. ]

La ecuación (1) es la energía potencial gravitatoria asociada a dos cuerpos, un cuerpo de masa $m$ a distancia $r$ en el campo gravitatorio (exterior) de un cuerpo de masa $M$ . Estos cuerpos podrían ser masas puntuales.

La ecuación (2) es la energía potencial gravitatoria asociada a un cuerpo de masa extendido $M$ y radio $r$ por ejemplo, una estrella. Del 2º enlace que has proporcionado:

La integral de la derecha han gravitatoria de la estrella es decir, la energía necesaria para ensamblar la estrella trayendo materia desde el infinito.

(el subrayado es mío).