Cómo calcular las inversas en el álgebra de grupos

Question

¿Existe algún algoritmo para calcular la inversa de un elemento en el álgebra de grupos?

Por ejemplo, ¿el elemento $(1 2 3) + 2 . (1 2)(3 4)$ en el álgebra de grupo $\mathbb{C} S_{4}$ tiene un inverso, y si es así, ¿cómo lo calculo?

Answer 1

En general, un elemento $u = \sum_{g \in G} \alpha_g g$ del álgebra de grupo $\mathbb{C}G$ de un grupo finito $G$ es invertible si y sólo si $u\sigma$ es una matriz invertible siempre que $\sigma$ es una representación matricial irreducible de $G$ (esto sólo depende del tipo de equivalencia de $\sigma$ ). Esto también proporciona un método para construir $u^{-1}$ explícitamente cuando existe, ya que el álgebra de grupo es una suma directa de álgebras matriciales, una por cada tipo de equivalencia de representación matricial irreducible. Para grupos más grandes, esto probablemente no sea práctico, al menos a mano. En el ejemplo concreto que ha elegido, puede observar que el elemento que considera es invertible si y sólo si $I + 2(321)(12)(24)$ es invertible ( he multiplicado por el inverso del elemento invertible $(123))$ . Desde $(321)(12)(24)$ es un $3$ -ciclo y todo $3$ -son conjugados, este elemento es invertible si y sólo si $v = I + 2(123)$ es invertible. Ahora para cualquier elección de matriz irreduciblerepresentación $\sigma,$ Obsérvese que los valores propios de $v\sigma$ tienen la forma $1+ 2 \omega$ para alguna tercera raíz de la unidad $\omega$ (posiblemente $1$ ). Dicha expresión nunca es cero, por lo que $v$ es invertible. Omito el cálculo explícito de la inversa, que es sencillo.