¿Por qué es tan categóricamente robusto producto cartesiano?

Question

Los principales "amplio/natural" de las categorías I encuentro en la vida diaria son: conjuntos, grupos, espacios topológicos, suave colectores, espacios vectoriales sobre un campo fijo de $k$, $k$-esquemas, anillos, $A$-álgebras por un anillo conmutativo $A$ y $Una$-módulos. Yo creo que sobre la cubre. (Yo estoy usando la palabra "amplio/natural" para referirse a las cosas que podría haber ocurrido a mí como categorías cuando me enteré lo de una categoría, es decir, para distinguirlos de los más "inteligente" y "restringido" categorías uno utiliza para articular teoremas específicos, tales como la categoría de conjuntos finitos equipado con una acción continua de un fijo profinite grupo o la categoría de abrir los subconjuntos de un espacio topológico.)

Hoy me he encontrado a mí mismo que realmente llama la atención el hecho de que en casi todas estas categorías, la categoría de producto, existe y su conjunto subyacente es el producto cartesiano, mientras que casi todas las categorías se basan en diferentes conjuntos de co-productos. En otras palabras, en casi todas estas categorías, teniendo productos de viajes con el olvidadizo functor, mientras que en casi ninguna de ellas toma de co-productos conmuta con el olvidadizo functor de $F$.

Específicamente:

Grupos: $\prod$ es el producto cartesiano; $\coprod$ es un producto libre. (Sólo $\prod$ desplazamientos con $F$.)

Espacios topológicos y suave colectores: $\prod$ es el producto cartesiano; $\coprod$ es distinto de la unión. (Ambos conmuta con $F$.)

$k$-espacios vectoriales, $A$-módulos: $\prod$ es el producto cartesiano; $\coprod$ es suma directa. (Sólo $\prod$ desplazamientos con $F$.)

$A$-álgebras de: $\prod$ es el producto cartesiano; $\coprod$ es el producto tensor de más de $A$. (Sólo $\prod$ desplazamientos con $F$.) Los anillos son el caso especial de $A=\mathbb{Z}$.

El único caso, entre los que se enumeran más arriba, donde el producto de $\prod$ no conmuta con el $F$ es la categoría de la $k$-esquemas.

Mi pregunta es:

Me pueden ayudar a pensar acerca de por qué está pasando esto? ¿Por qué es mucho más probable que, al menos para el "amplio/natural" categorías de uno de los encuentros en la vida real, para los desmemoriados functor para viajar con la toma de productos que con la toma de co-productos?

Gracias de antemano.

Answer 1

Como k.stm dice en los comentarios, generalmente de una manera más general, algo que es cierto: estas categorías $C$ están equipadas con olvidadizo / conjunto subyacente functors $U : C \a \text{Set}$, que tienden a tener una izquierda adjunto, el "libre" functor $F : \text{Set} \C$. Cuando esto es cierto, se sigue que $U$ conserva todos los límites, no sólo de los productos.

A veces, pero más raramente, $U$ también tienen derecho adjuntos, lo que dará un "cofree" functor. Cuando esto es cierto, se sigue que $U$ conserva todos colimits, no sólo co-productos. Esto sucede, por ejemplo, cuando $C = \text{Top}$: aquí la izquierda adjunto equipa un conjunto con la topología discreta y el derecho adjoint equipa un conjunto con la topología indiscreta. Pero esto no ocurre, por ejemplo, los grupos o los anillos.

Así que una manera de reformular su pregunta es:

¿Por qué el olvido functors $U : C \a \text{Set}$ escribimos tienden a tener la izquierda adjoints, pero no a la derecha adjoints? Equivalentemente, ¿por qué hay generalmente libre de estructuras, pero generalmente no cofree estructuras?

Una respuesta aproximada es que podemos esperar de "libre" de las estructuras siempre que la estructura es descrito por las operaciones de la satisfacción de los axiomas ecuacionales, y desde entonces se pueden construir objetos libres mediante la aplicación de todas las operaciones posibles modulo de todos los axiomas. Por otro lado, las operaciones también hacen que sea difícil para los desmemoriados functor para preservar co-productos, ya que en un subproducto de dos estructuras se pueden aplicar las operaciones de elementos de ambas estructuras, por lo que normalmente le dan algo más grande que la separe de la unión.

(Doblemente, usted debe esperar "cofree" estructuras siempre que la estructura es descrito por los "co-operaciones", y esto no en el hecho de suceder: por ejemplo, el olvidadizo functor de coalgebras a espacios vectoriales tiene derecho adjuntos, pero no a la izquierda adjunto, llamado el cofree coalgebra.)

Una respuesta más precisa sería invocar, es decir, la maquinaria de Lawvere teorías, que entre otras cosas tiene la ventaja de que también decirle exactamente lo que colimits usted puede esperar que estos olvidadizo functors $U$ a preservar. Esta es una larga historia, así que no quiere entrar a menos que usted se siente como lo que realmente responde a su pregunta, pero la esencia es que Lawvere teorías actuales estructuras familiares como grupos, anillos y módulos de una manera que fundamentalmente se utiliza finito productos, pero nada más. Se puede deducir de esto que el olvidadizo functor $U$ conserva (y de hecho crea) ningún tipo de límites o colimits que conmuta con finito de productos en $\text{Set}$. Cada límite de desplazamientos finitos productos, y la colimits que conmuta con finito de productos en $\text{Set}$ son precisamente los cernida colimits. Estos incluyen, por ejemplo, el aumento de los sindicatos, que es una forma abstracta a ver por qué el conjunto de la teoría de la creciente unión de una secuencia de grupos es aún un grupo, y lo mismo con los grupos reemplazado por anillos, módulos, etc.

Answer 2

La pregunta puede ser reformulada: ¿por qué el olvidadizo functor tan a menudo preservar los límites? (Porque en todos los casos que usted menciona sintonizadores se conservan también.) Esta propiedad de los desmemoriados functor es forzado por abstracto tonterías (representable functors son continuas) y por el hecho de que olvidadizo functors muy a menudo son representables. En cuanto a por qué este es el caso, yo no creo que la inesperada: la representabilidad de un olvidadizo functor significa que existe un objeto $R$ tales que los elementos de cualquier objeto $C$ corresponden (muy bien) a morfismos $R → C$. En la geometría de una espera, de hecho, hay un espacio (un punto, aunque hay que notar cómo esta falla de sistemas, donde los productos no se conservan), y en el álgebra esta es exactamente la propiedad de la libre expresión algebraica de la estructura de un elemento (por ejemplo. $\mathbb Z$ para $\mathrm{Grp}$ o $k[X]$ para $k$-álgebras).

De hecho, a menudo es más verdadero: el olvido functor $U : \mathcal C → \mathrm{Set}$ tiene un adjunto a la izquierda de F, y, en particular, representable (para el elemento $1$ y un objeto cualquiera $C$ adjointness se reduce a $\mathrm{Hom}(F1, C) ≅ \mathrm{Hom}(1, UC) ≅ UC$, es decir. $U$ es representada por el libre objeto en un elemento, como he mencionado para estructuras algebraicas). Adjointness sin embargo no es necesario así que creo que la representabilidad es la más importante y la razón intuitiva de continuidad.

Answer 3

Aquí están algunos contraejemplos.

La categoría de $\mathsf{Ban}_1$ (objetos: espacios de Banach más de $\mathbb{C}$; morfismos: corto lineal mapas) tiene productos, pero los desmemoriados functor $U : \mathsf{Ban}_1 \a \mathsf{Set}$ sólo prefiere finito productos. El producto de un (infinito) de la familia de los espacios de Banach $(V_i,\lVert - \rVert_i)$ es dada por $(P,\lVert - \rVert)$, donde $$P = \bigl\{v \en \prod_{i \in I} V_i : \lVert v \rVert := \sup_{i \in I} \lVert v_i \rVert_i < \infty\bigr\}.$$ Pero hay una mejor olvidadizo functor, la unidad de la bola functor $B_1 : \mathsf{Ban}_1 \a \mathsf{Set}$. Esto en realidad es isomorfo a $\hom_{\mathsf{Ban}_1}(\mathbb{C},-)$ y por lo tanto conserva todos los límites por razones generales.

Para la categoría de esquemas de $\mathsf{Sch}$, el olvidadizo functor $U : \mathsf{Sch} \a \mathsf{Set}$ no preservar la terminal de objeto, es decir, el vacío del producto. Uno puede decir exactamente en cómo no conservar los productos de fibra: Para morfismos $f : X \a S$, $g : Y \S$, natural de mapa $U(X \times_S Y) \a U(X) \times_{U(S)} U(Y)$ es surjective, y la fibra de $(x,y) \in U(X) \times_{U(S)} U(Y)$ mentir sobre $s \U(S)$ se identifica con $\mathrm{Spec}(\kappa(x) \otimes_{\kappa(s)} \kappa(y))$.

Answer 4

Una respuesta simple que cubre la mayoría de los puramente algebraicas ejemplos es que cualquier clase de estructuras que pueden ser axiomatised por cláusulas de Horn da lugar a una concreta categoría cuyos olvidadizo functor desplazamientos con los productos. (En otra pregunta Concreta que las categorías de productos no estándar, yo uso el término concreto de la categoría con productos estándar para esta propiedad.)

Los axiomas para espacios topológicos y colectores de varios tipos pueden ser cocinados para parecerse a cláusulas de Horn en algún tipo de infinitary lógica, por lo que el modelo estándar de la teoría de la prueba sobre las estructuras definidas por el Cuerno de cláusulas que bien puede adaptarse a trabajar para ellos. Cómo esto se vincula con Lawvere teorías mencionadas por la Qiaochu Yuan es una pregunta interesante.