¿Construcción de la exponenciación de los números enteros, racionales y reales?

Question

Creo que nunca aprendí la construcción teórica de conjuntos de la exponenciación para ningún conjunto de números que no fueran los naturales. Dicho esto, para esta pregunta, supongamos que todas las operaciones aritméticas están bien definidas sobre los números naturales. Ahora vamos a definir la relación de equivalencia $\sim_Z$ $$\forall a,b,c,d:(a,b,c,d\in\mathbb{N})[(a,b)\sim_Z(c,d)\leftrightarrow a+d=c+b]$$ Entonces la clase de equivalencia de un par ordenado de números naturales es un número entero: $$\mathbb{Z}=\mathbb{N}^2/\sim_Z$$ No sé muy bien cómo construir la exponenciación sobre este conjunto, ya que la clase de equivalencia $[(a,b)]_{\sim_Z}$ representa el número entero $a-b$ Así que tratar de poner una de estas clases de equivalencia a la potencia de otra parece como tratar de simplificar un binomio a la potencia de un binomio, lo que suena como un dolor (tal vez me falta algún conocimiento de teoría elemental de números que haría esto bastante obvio). A continuación, conociendo la suma y la multiplicación sobre los números enteros, definimos $\sim_Q$ $$\forall a,b,c,d:(a,b,c,d\in\mathbb{Z}\wedge b,d\neq0)[(a,b)\sim_R(c,d)\leftrightarrow ad=bc]$$ y las clases de equivalencia son los números racionales: $$\mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}-\{0\})/\sim_Q$$ Esto parece que sería mucho más sencillo, pero el problema es que los racionales no son cerrados bajo exponenciación. Si construimos los reales como secuencias de Cauchy de racionales, yo esperaría que $$\{a_n\}^{\{b_n\}}=\{a_n^{b_n}\}$$ (Supongamos que las anteriores son clases de equivalencia de secuencias, no sólo secuencias) pero el problema es el mismo: $a_n^{b_n}$ no es necesariamente racional. Por favor, ayuda, gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que cada $z \in \mathbb Z$ tal que $z \neq [(0,0)]_{\sim_{\mathbb Z}}$ puede expresarse unívocamente como

• $z = [(n,0)]_{\sim_{\mathbb Z}}$ (en este caso ' $z = n$ ) o
• $z = [(0,n)]_{\sim_{\mathbb Z}}$ (en este caso ' $z = -n$ ')

para algunos $n \in \mathbb N$ . Digamos que $z \in \mathbb Z^{+}$ si $z = [(n,0)]_{\sim_{\mathbb Z}}$ para algunos $n \in \mathbb N^{+}$ . También para $z = [(n,m)]_{\sim_{\mathbb Z}}$ escribamos $-z := [(m,n)]_{\sim_{\mathbb Z}}$ .

Ahora podemos definir para $n, m \in \mathbb N$ $$ [(n,0)]_{\sim_{\mathbb Z}}^{[(m,0)]_{\sim_{\mathbb Z}}} := [(n^m,0)]_{\sim_{\mathbb Z}} $$ y $$ [(0,n)]_{\sim_{\mathbb Z}}^{[(m,0)]_{\sim_{\mathbb Z}}} := \begin{cases} [(n^m,0)]_{\sim_{\mathbb Z}} & \text{, if } 2 \mid m \\ [(0,n^m)]_{\sim_{\mathbb Z}} & \text{, if } 2 \not \mid m \end{cases} $$

No podemos definir $[(0,n)]_{\sim_{\mathbb Z}}^{[(0,m)]_{\sim_{\mathbb Z}}}$ (como elementos de $\mathbb Z$ que respetan el sentido habitual de la exponenciación), ya que $\mathbb Z$ no es cerrado bajo exponenciación con potencias negativas. Si desea tener una función total, tal vez sólo dejar que $$ [(0,n)]_{\sim_{\mathbb Z}}^{[(0,m)]_{\sim_{\mathbb Z}}} := [(0,0)]_{\sim_{\mathbb Z}}^{[(0,m)]_{\sim_{\mathbb Z}}} := [(1,0)]_{\sim_{\mathbb Z}}. $$ Ahora, para $x = [(p,q)]_{\sim_{\mathbb Q}} \in \mathbb Q$ y $z \in \mathbb Z$ definimos $$ \left( [(p,q)]_{\sim_{\mathbb Q}} \right)^z := \begin{cases} [([(0,0)]_{\sim_{\mathbb Z}},[(1,0)]_{\sim_{\mathbb Z}})]_{\sim_{\mathbb Q}} & \text{, if } p = [(0,0)]_{\sim_{\mathbb Z}} \\ [([(1,0)]_{\sim_{\mathbb Z}},[(1,0)]_{\sim_{\mathbb Z}})]_{\sim_{\mathbb Q}} & \text{, if } z = [(0,0)]_{\sim_{\mathbb Z}} \wedge p \neq [(0,0)]_{\sim_{\mathbb Z}}\\ [(p^z,q^z)]_{\sim_{\mathbb Q}} & \text{, if } z \in \mathbb Z^{+} \wedge p \neq [(0,0)]_{\sim_{\mathbb Z}} \\ [(q^{-z}, p^{-z})_{\sim_{\mathbb Q}} & \text{, if } z \in \mathbb Z \setminus \mathbb Z^{+} \wedge z \neq [(0,0)]_{\mathbb Z} \wedge p \neq [(0,0)]_{\sim_{\mathbb Z}} \end{cases} $$

Esto puede generalizarse fácilmente a aquellos casos en los que $x^y \in \mathbb Q$ para $x,y \in \mathbb Q$ como se desprende de lo anterior.

Ahora, definiendo $x^y$ para $x,y \in \mathbb R$ puede hacerse de la siguiente manera: Primero supongamos que $x,y \in \mathbb Q$ Entonces $$ \vec{x^y} := \{ q \in \mathbb Q \mid \exists a,b \in \mathbb \colon a^b \in \mathbb Q \wedge q < a^b \}. $$

Elegir (aquí necesitamos alguna forma de elección para poder hacerlo para cada $x,y \in \mathbb Q$ simultáneamente) una secuencia monótona creciente $(q_0, q_1, \ldots)$ de racionales tal que $\lim_{n \to \infty} q_n = \sup \vec{x^y}$ y definir $$ x^y := (q_0, q_1, \ldots). $$

Ahora que ya lo ha hecho, puede definir $x^y$ para $x \in \mathbb R$ y $y \in \mathbb Q$ tal y como sugieres en tu post y por último, si $y \in \mathbb R^{+}$ fije una secuencia creciente $y_n \in \mathbb Q^{+}$ para $n \in \mathbb N$ con límite $y$ y definir $$ x^y := \sup \{ x^{y_n} \mid n \in \mathbb N \} $$ y análogamente para $x^{-y}, (-x)^{y}, \ldots$ . (Puede reescribirse utilizando $\vec{x^y}$ )

Este post debería enseñarte dos cosas:

1. Se puede definir la exponenciación en una construcción teórica de conjuntos de los reales.
2. La abstracción es tu amiga. Todo esto podría haberse simplificado mucho añadiendo una capa de abstracción y haciendo referencia a herramientas ya desarrolladas (en este caso, un análisis básico que se utiliza, pero se mantiene oculto, en mi respuesta).