En consecuencia, el lenguaje de la Teoría de Conjuntos se compone únicamente del símbolo relacional " $\in$ ". Pero entonces, ¿cómo tratar las constantes? Consideremos, por ejemplo, el caso en el que se define " $\emptyset$ ". A partir del axioma de extensionalidad y del axioma de existencia llegamos a la expresión $\exists! X\forall Y(Y\notin X)$ . En primer lugar, ¿cuál es el significado de decir que definimos este " $X$ " para ser $\emptyset$ ? Además, ¿qué es $\emptyset$ si no es una constante? ¿Qué ocurre cuando se añaden más axiomas para construir una nueva teoría, como por ejemplo la teoría de grupos, en la que necesitamos utilizar constantes?
Respuestas
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Creo que estás confundiendo entre constantes en el lenguaje (de conjuntos) y constantes en el metalenguaje. El lenguaje de $ZF$ no tiene constantes. Eso significa que no está obligado a interpretar ninguna constante como un conjunto determinado. Simplemente no hay constantes que interpretar. Sólo hay que interpretar el símbolo $\in$ . Ahora bien, resulta que una vez hecho esto es un teorema que $\exists !X\forall Y \neg (X\in Y)$ . Eso significa que en la interpretación hay un conjunto único $X$ con alguna propiedad. Ahora pasamos a la metateoría (donde tenemos muchas constantes) y asignar este conjunto único $X$ a la constante $\emptyset$ del metalenguaje. A continuación (quizás de forma confusa) utilizamos libremente $\emptyset$ cuando argumentamos formalmente en $ZF$ . Esto está bien siempre y cuando recuerde que cuando vea $\emptyset$ utilizado en un $ZF$ hay que sustituirla (adecuadamente) por la frase de $ZF$ que define qué $\emptyset $ es. Una vez que lo hagas obtendrás una honesta $ZF$ (es decir, sin constantes). Por supuesto, esto es muy tedioso y por eso se evita. Utilizamos la definición para evitar escribir lo mismo una y otra y otra y otra vez.
DanV
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Efectivamente utilizamos muchos más símbolos en el lenguaje de la teoría de conjuntos que los que tenemos en el lenguaje.
Por ejemplo, $\varnothing,\omega,\omega_1,\aleph_\omega,\subseteq,\mathcal P,\bigcup$ etc. La razón por la que podemos hacerlo es que todas estas cosas son elementos definibles, relaciones, funciones, lo que sea.
Esto significa que si añadimos esos símbolos al lenguaje y añadimos axiomas que establezcan que esos símbolos satisfacen una fórmula concreta, entonces realmente no cambiamos nada sustancial en nuestros sistemas, al menos en términos de demostrabilidad.
Así que estos símbolos son en realidad una abreviatura de las fórmulas. Al igual que a menudo estamos de acuerdo en que la lógica sólo tiene $\lnot,\land,\exists$ y el resto de las conectivas y $\forall$ son sólo abreviaturas de fórmulas más complicadas.
Pero a su segunda pregunta, cuando queremos construir los axiomas de la teoría de grupos en $\sf ZF$ no añadimos axiomas a $\sf ZF$ . No, en lugar de eso formalizamos la noción de un lenguaje, y la lógica, y todo eso y definimos un conjunto de símbolos con los que podemos escribir los axiomas de la teoría de grupos. En ese conjunto podemos decidir tener un símbolo para el elemento neutro (aunque eso también es una constante definible a partir de los axiomas de la teoría de grupos).
