¿Por qué la función módulo complejo $1 \bmod z$ ¿Se parece mucho a la función zeta de Riemann cuando se representa gráficamente?

Question

Hace poco vi el vídeo de 3Blue1Brown sobre el Función Zeta de Riemann . Alrededor del minuto 11:00, hay una interesante visualización de la función graficada en el plano complejo. Como un interés aficionado, he construido una calculadora gráfica compleja utilizando HSL gráfico en JavaScript, sólo teniendo en cuenta el tono para el argumento complejo. Definí la operación módulo complejo como $z_1 \bmod z_2 = z_1 - z_2 \left\lfloor \frac{z_1}{z_2} \right\rfloor$ y la función suelo compleja como $\lfloor z \rfloor = \lfloor \Re(z) \rfloor + \lfloor \Im(z) \rfloor$ . Esta es la función $1 \bmod z$ en comparación con el gráfico de 3Blue1Brown:

No sé mucho de Análisis Complejo, pero estas dos funciones parecen tener la misma estructura subyacente, al menos a mis ojos. ¿Qué relación hay entre la función módulo y la función zeta de Riemann? Tampoco creo haber visto antes esta forma en matemáticas. ¿Hay algún otro lugar donde aparezca esta forma? Perdonad mi ignorancia si las respuestas son triviales. Además, muchas gracias por dedicar su tiempo a responder preguntas de novatos en matemáticas como yo.

Answer 1

Lo que crea esos arcos circulares en la gráfica de la función zeta de Riemann es en realidad el comportamiento alrededor del polo s=1. Echa un vistazo a este vídeo: transformación de la función . A medida que nos acercamos a s=1, la función zeta de Riemann se comporta de forma muy parecida a $$f(z)=\frac{1}{z-1} + \gamma$$ Estos son los términos principales de la expansión de la serie de Laurant para $\zeta(s)$ . Así que esos arcos circulares en realidad provienen del término $\frac{1}{1-s}$ . Si trazáramos la función paramétrica $f(t) = \frac{1}{(a+it) - 1}$ en el plano complejo, se obtendría la siguiente ecuación para un círculo

$$\bigg(x-\frac{1}{2(a-1)}\bigg)^2+y^2=\frac{1}{4(a-1)^2}$$

Escribí una derrivación completa aquí: En resumen, cuando se aplica la función a líneas de cuadrícula en el plano complejo, se crean círculos. Cuanto más cerca esté la línea del polo de la función, mayor será el círculo creado. Por eso, visualmente, todos los círculos de la transformación de la función Zeta de Riemann parecen expandirse desde el polo en s=1.

Esta transformación, curiosamente, se muestra como cambios repentinos de color en el gráfico HSL. Esto significa que el patrón de arco circular que se muestra en realidad representa los límites donde la función de suelo tiene discontinuidades (la salida de la función de repente cambia a una parte diferente del plano complejo). Está graficando la función $$m(z) = 1-z \lfloor \frac{1}{z} \rfloor$$ Las discontinuidades proceden probablemente de la $\lfloor \frac{1}{z} \rfloor$ plazo. Si dejamos que $z=a+bi$ El término $\frac{1}{z}$ es discontinua cuando $$\frac{1}{a+bi}=j+ki, (j,k \in \mathbb{Z})$$ . Los valores que satisfacen estas ecuaciones son las líneas paramétricas $t+bi$ o $a+ti$ aplicados como insumos para $f(z)$ donde $a,b \in \mathbb{Z}$ . Estas líneas trazan una cuadrícula de coordenadas en el plano complejo. En otras palabras, los límites a lo largo de los cuales $m(z)$ Experimenta discontinuidades de salto (donde tu gráfica cambia de color y muestra esos círculos) son exactamente cuando tomas una rejilla de coordenadas en el plano complejo (con líneas espaciadas uniformemente con intervalo 1) y aplicas la función compleja $f(z)=\frac{1}{z}$ . Utilizando una derivación similar a la anterior para una línea vertical $a+it$ podemos obtener las ecuaciones paramétricas $$x(t)=\frac{a}{a^2+t^2}; y(t)=\frac{-t}{a^2+t^2}$$ Estos generan el círculo: $$\bigg(x-\frac{1}{2a}\bigg)^2+y^2=\frac{1}{4a^2}$$ Son círculos tangentes al eje imaginario (o y). Obsérvese que este círculo sólo representa líneas horizontales después de la transformación. Se puede hacer una derivación similar para $t+bi$ para obtener circunferencias tangentes al eje real. Como prueba de tripa, al introducir los valores de 1,2,3 se obtienen círculos de radio 1, 1/2, 1/4 respectivamente. Son los mismos círculos que aparecen en tu gráfica.