Edit: Después de una discusión con t.b. estamos de acuerdo en que esta pregunta apunta a una respuesta diferente de este, para más información puede leer el comentario de abajo.
Muchas veces he escuchado a la gente hablar sobre combinatoria homotopy teoría, pero cada referencia aparentemente relacionadas parece tratar con los conceptos generales de la topología algebraica como CW-complejos, homotopy grupos de homología y así sucesivamente.
Así podía alguien me explique ¿qué es exactamente la combinatoria homotopy la teoría y en lo que es su relación con la topología algebraica?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El término "Combinatoria homotopy" fue acuñado por J. H. C. Whitehead en su uso para la primera de dos de sus papeles
"Combinatoria homotopy. I." El Toro. Amer. De matemáticas. Soc. 55 (1949) 213--245.
"Combinatoria homotopy. II." Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 55 (1949) 453--496.
"Simple homotopy tipos." Amer. J. Math. 72 (1950) 1--57.
Estos se reescribe y extensiones de algunos de sus documentos originales que aparecieron en 1939-1941, en la que mostró cómo algunas de las posibles extensiones de técnicas básicas en lo que se llama "Combinatoria, teoría de grupos", como Tietze transformaciones, en realidad eran generalmente esto no es posible, y que existen obstrucciones de mentira en lo que ahora se llama la Whitehead grupo. Así que me interesaría saber de un punto de vista contrario, pero a mí me parece que el ímpetu para el nombre proviene de la combinatoria, teoría de grupos.
El primer documento en que aparece cubre lo que es ahora un estándar de base para homotopy teoría (CW-complejos, el Teorema de Whitehead en homotopy equivalencias, ...) y la 3ª ha sido muy influyente. El segundo no está tan bien informado, pero es una de las bases de la utilización de mayor homotopy groupoids en homotopy teoría, que me han informado en una página web bajo el término de "dimensiones Superiores teoría de grupos", y que tipo de se extiende a los aspectos de Whitehead enfoque. En particular, la libre cruzado módulos que apareció en el segundo trabajo fue clave para el progreso, y tienen un fuerte vínculo con la teoría de grupos y "Identidades entre las relaciones".
Un punto que me llamó la atención recientemente fue lo que realmente necesitan este concepto de libre cruzado módulos si quieres escribir para el límite de la norma de la plaza diagrama de $\sigma$ dándole a la botella de Klein no conmutativa fórmula:
$$\partial(\sigma) = a+b-a +b $$
en lugar de la habitual de $\partial (\sigma) = 2b$, que ha perdido una gran cantidad de información. Para Whitehead sostiene en el documento 2, que su "homotopy sistemas", que ahora se llama "libre cruzado complejos", llevará a más información y a tener una mejor realización de las propiedades que, a continuación, el todavía más ampliamente utilizado de manera gratuita los complejos de la cadena con un grupo de operadores.
Por supuesto, el lenguaje y el uso de los términos de cambio de las décadas, pero puede ser útil para trazar la historia de algunos de sus raíces, y tratar de ver en qué medida los objetivos iniciales se han cumplido.
Una relación de la palabra "combinatoria" a simplicial conjuntos, y por lo tanto, otra línea sobre cómo la palabra puede ser interpretada, fue dada en el papel
Kan, Daniel M. Una combinatoria definición de homotopy grupos. Ann. de Matemáticas. (2) 67 1958 282-312.
Nov 12, 2014 acabo de llegar a través de la preprint por Vezzani por los motivos que utiliza cúbica en lugar de simplicial métodos, debido a algunas ventajas técnicas en el tratamiento con derivados de functors en un ajuste de la geometría algebraica. Ver también este preprint por I. Patchkoria en pequeñas y simplicial derivados de functors (publicado en HHA).
Judah Himango
Puntos
27365
La teoría de la simplicial establece, a los efectos de homotopy teoría, a menudo un sustituto efectivo para la categoría de espacios topológicos. Al menos, hay una bien definida "homotopy teoría" de simplicial de juegos, que está codificada en el estándar (Quillen) la estructura del modelo en simplicial conjuntos, como su profesor señala. Hay un Quillen equivalencia entre los espacios y simplicial conjuntos, donde el derecho adjoint envía un espacio a su singular complejo y la izquierda adjunto envía un conjunto simplicial a la geometría de su realización (que es probablemente la forma en que se visualiza un conjunto simplicial en el primer lugar).
El significado de su existencia en un Quillen equivalencia es que uno puede calcular homotopy clases de mapas, sea simplicially o topológicamente. Si $X, Y$ CW complejos, entonces homotopy clases de mapas de $[X, Y]$ son los mismos (simplicial) homotopy clases de mapas de $[\mathrm{Sing} X, \mathrm{Sing} Y]$. Del mismo modo, si $A, B$ son complejos de Kan (en realidad, sólo se necesita $B$ a ser un complejo de Kan), a continuación, $[A, B] = [|A|, |B|]$ donde $|\cdot | $ denota geométricas realización.
Así que, si quieres trabajar con homotopy tipos (de CW complejos, al menos) entonces usted puede trabajar con simplicial establece como con espacios topológicos. Pero hay varias razones para preferir simplicial establece en ciertos casos:
- La categoría de simplicial conjuntos es muy buena: es un presheaf categoría (y por lo tanto presentable. Uno puede manipular simplicial conjuntos puramente combinatoria; cuando se trata con espacios topológicos, uno tiene a menudo que preocuparse general topológico-consideraciones en las que no se apariencia simplicially. (Por ejemplo, en la construcción de la función de espacio de $\mathrm{Map}(X, Y)$ entre dos espacios topológicos $X, Y$, generalmente no será un aumento exponencial en la categoría de sentido; es decir, $\mathrm{Top}$ no es cartesiana cerrada. La solución usual es trabajar en un conveniente categoría.)
- De acuerdo a la Dold-Kan correspondencia, simplicial abelian grupos son los mismos que nonnegatively graduales de los complejos de la cadena. No hay analógico para espacios topológicos.
- En la categoría de teoría, con frecuencia se reúne simplicial objetos a través de la construcción de la barra (en topología, un ejemplo clásico de esto es en delooping teoría), y es útil para poder trabajar con ellos homotopically.
- Las categorías pueden ser codificados de manera eficiente el uso de los datos de un conjunto simplicial, a través de los nervios. Uno llega a una totalmente fieles a la incorporación de la categoría de (pequeñas) de las categorías en la categoría de simplicial conjuntos. Cabe destacar que, por la relajación de la caracterización en simplicial establece que define el nervio de una categoría, se obtiene un modelo viable para $(\infty, 1)$-categorías.
Realmente no sé lo suficiente acerca de la topología algebraica para hacer cualquier declaraciones radicales, pero estos son sólo algunos ejemplos de los que conozco. Usted puede disfrutar de las respuestas en este MO pregunta.
Giorgio Mossa
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7801
Aquí quiero publicar la respuesta que he recivido a esta pregunta por el profesor Dan Christensen, espero que pueda ser interesante para los demás
He aquí una muy breve respuesta: hay objetos combinatorios llamado simplicial conjuntos, y se pueden definir todas las concepciones habituales de homotopy teoría de simplicial establece de una manera que hace que el homotopy teoría de simplicial conjuntos equivalente a la homotopy la teoría de los espacios. (Una manera de decir que son "equivalentes" es para mostrar que son "Quillen equivalente", que es más fuerte que simplemente decir que el homotopy categorías son equivalentes). Como resultado, cualquier homotopy de la teoría de problema te gustaría estudiar para espacios topológicos en su lugar puede ser estudiado en la combinatoria mundo de simplicial conjuntos.
Por cierto, ya que en la medianoche aquí quiero desear a todos feliz año nuevo.
