Un elemento x en un anillo no conmutativo R es fuertemente nilpotente si cualquier cadena $x_1=x, x_2, ... $ con $x_{n+1}\in x_n R x_n$ termina en cero. Queda claro por qué ésta es una buena definición una vez que se ha demostrado que el conjunto de todos esos elementos es el radical semiprimo (la intersección de todos los ideales primos). Sin embargo, cabe preguntarse si esto es equivalente a otra definición (que a primera vista parece m parece más natural): x es ingenuamente fuertemente nilpotente si para todo $a_1,a_2,..$ en $R$ tenemos $x a_1 x a_2 .. x a_n x =0$ para algunos $n$ . "Ingenuamente fuertemente nilpotente" implica fuertemente nilpotente; ¿es cierta la inversa en general? [Probablemente no, pero ¿cuál es un contraejemplo?]
Respuestas
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Considere la palabra infinita $W=xx_1xx_2xx_3x....$ . Sea $R=R(W)$ el anillo formado por todas las combinaciones lineales integrales de subpalabras finitas de $W$ . El producto de dos subpalabras $u,v$ es la concatenación $uv$ si $uv$ es una subpalabra de $W$ o $0$ de lo contrario. Se trata claramente de un anillo asociativo. El elemento $x$ en $R(W)$ no es ingenuamente fuertemente nilpotente, pero es fuertemente nilpotente. También se puede obtener un anillo finitamente generado de esta manera. Basta con considerar la palabra $W=xyxy^2x...$ . El anillo $R(W)$ se genera 2 veces, $x$ es fuertemente nilpotente pero no "ingenuo". He aquí la prueba. El hecho de que $x$ no es "ingenuamente fuertemente nilpotente" se deduce del hecho de que las palabras $x,xyx, xyxy^2x,...$ son subpalabras de $W$ y, por tanto, no es igual a 0 en $R(W)$ . Considere cualquier secuencia $t_0=x, t_1\in xR(W)x, t_2\in t_1R(W)t_1,...$ , $t_i\ne 0$ . Sea $t_i=\sum_{j=1}^{n_i} w^{(i)}_j$ donde cada $w^{(i)}_j$ es una subpalabra de $W$ . A continuación, cada $w^{(i)}_j$ comienza y termina con $x$ y tiene una longitud mínima de 2, cada $t_p$ , $p > 1$ es una combinación lineal de palabras que empiezan por $w_k^{(1)}$ y terminar con $w^{(1)}_l$ . Pero esto implica que las longitudes de los sumandos de $t_p$ están acotadas (ya que una subpalabra larga de $W$ no puede terminar con una palabra corta de la forma $x...x$ ), una contradicción. Así pues, $x$ es fuertemente nilpotente.
Chrystomath
Puntos
16
Sin embargo, Roman todavía puede tener razón: los nilpotentes fuertes dependen de los nilpotentes ingenuamente fuertes en el sentido de que si no hay nilpotentes ingenuamente fuertes, entonces no hay nilpotentes fuertes.
Prueba: Si no hay nilpotentes ingenuamente fuertes (distintos de cero), entonces no hay ideales nilpotentes. Por tanto, para cualquier $x\ne0$ siempre se puede encontrar $0\ne x_{n+1}\in x_nRx_n\subseteq\langle x_n\rangle^2$ , $x_0=x$ . Así que $x$ no es fuertemente nilpotente.
Nilpotentes fuertes $a$ son tales que las palabras "fractales $ax_1ax_2ax_1ax_3ax_1ax_2ax_1a$ son finalmente 0. Esto parece un fenómeno profundo o antinatural que puede simplificarse. Por antinatural se entiende que si se define un nilpotente-3 fuerte de forma similar a un nilpotente fuerte pero con $x_{n+1}\in x_nRx_nRx_n\subseteq\langle x_n\rangle^3$ las dos definiciones coinciden.
