Ejemplo de un Operador de Proyección en $\mathbb{R^3}$

Question

Estoy buscando un operador $\hat P$ en $\mathbb{R^3}$ tal que $\hat P^2=\hat P$ que también sea Hermitiano

Answer 1

Un ejemplo estándar de un operador de proyección en $\mathbb{R}^3$ es la proyección sobre el subespacio generado por un solo vector:

Sea $u = (u_1,u_2,u_3)^T \in \mathbb{R}^3$, entonces $P_u x = \frac{x \cdot u}{u \cdot u} u$. Note que la linealidad del producto punto hace que $P_u$ sea lineal, y $P_u u= u$.

Ahora $$P_u ( P_u x ) = P_u \left( \frac{x \cdot u}{ u \cdot u} u \right) = \frac{x \cdot u}{ u \cdot u} P_u u = \frac{x \cdot u}{ u \cdot u} u$$ se cumple para todo $x$, por lo tanto $P_u^2 = P_u$.

Finalmente, $(P_u x) \cdot y = \frac{(x \cdot u)(y \cdot u)}{u \cdot u} = x \cdot (P_u y)$, entonces $P_u$ es autoadjunto (es decir, Hermitiano).

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Podemos expresar $P_u$ como una matriz utilizando la base estándar en $\mathbb{R}^3$. Sea $e_1 = (1,0,0)^T$, $e_2 = (0,1,0)^T$ y $e_3=(0,0,1)^T$, y sea $\beta = \{ e_1, e_2, e_3\}$ el conjunto ordenado de vectores base.

$$P_u e_i = \frac{u_i}{u\cdot u} u = \frac{1}{u \cdot u} (u_i u_1, u_i u_2, u_i u_3)^T.$$

Así $$[P_u]_\beta = \frac{1}{u \cdot u} \begin{pmatrix} u_1 u_1 & u_2 u_1 & u_3 u_1\\ u_1 u_2 & u_2 u_2 & u_3 u_2\\ u_1 u_3 & u_2 u_3 & u_3 u_3\end{pmatrix}.$$

Puedes ver directamente desde la representación matricial que el operador $P_u$ es autoadjunto. Si lo deseas, también puedes demostrar a través de la multiplicación matricial que esta matriz cumple $[P_u]_\beta = [P_u]_\beta^2$.

Answer 2

El operador de identidad es un ejemplo.

Answer 3

La matriz cuyos elementos son iguales a $1/3$ es Hermitiana y una proyección, aunque "Hermitiana" es una tontería en un espacio vectorial real.