Un entero positivo que no es potencia de 2 tiene un factor primo impar

Question

Se da que si un número entero positivo $n$ no es una potencia de dos, entonces $n$ debe tener un factor primo impar, es decir $$n = pr, p>2, 1\leq r< n $$ ¿Es realmente tan trivial? Hay un prueba que utiliza este resultado, sin siquiera dar una explicación de por qué es cierto. Si suponemos $p=2$ ¿por qué es una contradicción?

Intento: Si $r=1$ entonces $n = 2\cdot 1$ que es una potencia de dos, de ahí la contradicción.
Supongamos que $n = 2k$ es una potencia de dos, entonces $n=2(k+1) = 2k+2\cdot 1$ pero no hay contradicción.

Answer 1

Sugerencia Demostrar por inducción que todo número entero $n>1$ puede escribirse unívocamente como $$n=2^k \cdot m$$ con $m$ impar. Esto también se puede demostrar utilizando la factorización en primos.

Pista 2: Si $n$ no es una potencia de $2$ entonces $m$ es un número impar y $m>1$ . Este $m$ es divisible por un primo $p$ . ¿Qué puede decir sobre $p$ ?

Answer 2

Si $n$ no es una potencia de dos, entonces tiene un factor primo que no es dos, por definición.

Answer 3

Prueba por contradicción.

Si $n > 1$ no tiene factor primo impar, entonces sólo factor primo de $n$ es $2$ . Así que $n = 2^k$ para algunos $k > 0$ del teorema fundamental de la aritmética.