Tengo una colección de polinomios ortogonales en infinitas variables conmutables $x_1, x_2, x_3, \ldots$ . Creo que deben ser bien conocidos (quizás polinomios de Schur o Hermite o alguna variante de los mismos), pero no he conseguido encontrarlos en la literatura en una forma que me resulte reconocible. Si alguien puede indicarme una referencia adecuada, se lo agradecería. Sospecho que la respuesta a esto debe ser muy familiar para mucha gente, pero yo no soy una de esas personas.
Los polinomios están indexados por diagramas de Young (particiones) de todos los tamaños (es decir, [], [1], [2], [1,1], [3], [2,1], [1,1,1], [4], ...).
La medida respecto a la cual son ortogonales es $$ \prod_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi k}}e^{-\frac{x_k^2}{2k}}dx_k $$ Es decir, un producto de medidas gaussianas, cuya anchura es proporcional a $\sqrt{k}$ . (Desde algunos puntos de vista es más natural sustituir $x_k$ con $x_k-1$ cuando $k$ es par; es decir, desplazar la gaussiana para que se centre en 1 en lugar de en 0 cuando $k$ es par).
La regla de multiplicación de los polinomios es más complicada que la de Littlewood-Richardson. La multiplicación de polinomios correspondientes a diagramas de Young de tamaños $a$ y $b$ resulta en diagramas de Young de tamaños $|a-b|$ a $a+b$ . (La parte de mayor orden de la regla de multiplicación es Littlewood-Richardson.) Por ejemplo $[1] * [2,1] = [2] + [1,1] + [3,1] + [2,2] + [2,1,1]$ .
AÑADIDO:
Empíricamente, parece ser cierto que si se suman los polinomios de todos los diagramas de Young de tamaño $n$ ponderado por la dimensión del diagrama de Young, se obtiene el $n$ -ésimo polinomio de Hermite en la variable $x_1$ . (Gracias a Suvrit por sugerirme que mirara los polinomios de Hermite).
