Utiliza la ley de Gauss para calcular la integral triple , ¿por qué de dos formas dos respuestas?

Question

$\iiint_V (xy+yz+zx) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

$V: x\geq 0 , y \geq 0 , 0\leq z \leq 1, x^2+y^2\leq 1$

La integral triple es $\frac{11}{24}$

La primera manera: \begin{array}{l} =\frac{1}{2} \iint_{S}\left(x^{2} y \mathrm{d} y \mathrm{d} z+y^{2} z \mathrm{d} z \mathrm{d} x+z^{2} x \mathrm{d} x \mathrm{d} y\right) \\ =\frac{1}{2}\left[\iint_{D_{y z}}\left(1-y^{2}\right) y \mathrm{d} y \mathrm{d} z+\iint_{D_{z x}}\left(1-x^{2}\right) z \mathrm{d} z \mathrm{d} x+\iint_{D_{x y}} x \mathrm{d} x \mathrm{d} y\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{1} \mathrm{d} y \int_{0}^{1}\left(1-y^{2}\right) y \mathrm{d} z+\int_{0}^{1} \mathrm{d} x \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right) z \mathrm{d} z+\int_{0}^{1} x \mathrm{d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{d} y\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{1}\left(1-y^{2}\right) y \mathrm{d} y+\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} x \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{d} x\right] \\ =\frac{11}{24} \end{array} La segunda manera: \begin{array}{l} =\frac{1}{2} \iint_{S}\left(x y z\mathrm{d} y \mathrm{d} z+x y z \mathrm{d} z \mathrm{d} x+xyz \mathrm{d} x \mathrm{d} y\right) \\ =\iint_{D_{y z}}\left(1-y^{2}\right) y z \mathrm{d} y \mathrm{d} z+\iint_{D_{z x}} x\left(1-x^{2}\right) z \mathrm{d} z \mathrm{d} x+\iint_{D_{x y}} xy \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = 2\int_0^1\mathrm{d} z \int_0^1 (1-y^2)yz \mathrm{d} y+\int_0^1\mathrm{d}x\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} xy \mathrm{d} y\\ =2\times\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})\\ =\frac{3}{8} \end{array}

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{equation} \iiint_V \left(xy+yz+zx \right)dxdydz=\iiint_V \nabla\cdot\left(xyz,xyz,xyz\right) dxdydz=\iint_{\partial V} \left(xyz,xyz,xyz\right)\cdot n_{\partial V} d\text{vol}_{\partial V}, \end{equation} donde utilizamos el Teorema de Gauss, donde $n_{\partial V}$ es la normal unitaria exterior en la frontera de su dominio.

Ahora el resto es un simple cálculo.

Answer 2

$ \displaystyle \iiint_V (xy+yz+zx) ~ dx ~ dy ~ dz$

donde $V: x^2 + y^2 \leq 1, x, y \geq 0, 0 \leq z \leq 1$

La respuesta es $\frac{11}{24}$ . Ahora se quiere evaluar por integral de superficie utilizando un campo vectorial $\vec F$ tal que,

$ \nabla \cdot \vec F = xy + yz + zx$

El teorema de divergencia te da el flujo para un campo vectorial hacia fuera sobre un cerrado región. Así que la superficie sobre la que tenemos que evaluar la integral es $S: S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup S_4 \cup S_5$ . $S_1$ es la superficie cilíndrica en el primer cuadrante. $S_2$ es un cuarto de disco en $z = 0$ , $S_3$ es un cuarto de disco en $z = 1$ , $S_4$ es una superficie rectangular en $x = 0$ y $S_5$ es una superficie rectangular en $y = 0$ .

La integral de superficie es $ \displaystyle \iint_S \vec F \cdot \hat n ~ dS$ .

$ \vec F = (xyz, zyz, xyz)$

Vector normal a $S_1$ es $(x, y, 0)$ . Vector normal a $S_3$ es $(0, 0, 1)$ . Integral sobre $S_2, S_4$ y $S_5$ es cero.

Parametrización $S_1$ en coordenadas cilíndricas como, $x = \cos\theta, y = \sin\theta, z = z$

$ \displaystyle \iint_{S_1} \vec F \cdot \hat n ~ dS = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \int_0^1 z(\cos^2\theta \sin\theta + \sin^2\theta \ cos \theta) ~ dz ~ d\theta $

Parametrización $S_3$ como $x = r \cos\theta, y = r \sin\theta, z = 1$

$ \displaystyle \iint_{S_3} \vec F \cdot \hat n ~ dS = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \int_0^1 r^3 \cos\theta \sin\theta ~ dr ~ d\theta $

Añadir ambos $S_1$ y $S_3$ conduce a la respuesta de $\frac{11}{24}$ .

También puede aplicar el mismo planteamiento para la primera forma.