Dotar a los enteros de la topología tal que cada elemento sea un conjunto de tres enteros consecutivos

Question

Defina S = { {2k-1, 2k, 2k+1} | k $\in$ $\mathbb{Z}$ }

(a) Demuestre que S es una subasis para una topología sobre $\mathbb{Z}$ . Llamamos X al espacio topológico generado por este subasis.

Estoy bastante seguro de haber respondido correctamente, pero aquí está mi trabajo:

Demuestro que la unión de todos los subconjuntos de la forma de S es igual a $\mathbb{Z}$ . k = ..., -1, 0, 1, ...

... $\cup$ {2(-1)-1, 2(-1), 2(-1)+1} $\cup$ {2(0)-1, 2(0), 2(0)+1} $\cup$ {2(1)-1, 2(1), 2(1)+1} $\cup$ ...

\= ... $\cup$ {-3, -2, -1} $\cup$ {-1, 0, 1} $\cup$ {1, 2, 3} $\cup$ ...

\= { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } = $\mathbb{Z}$

Por lo tanto, S es una subasis de $\mathbb{Z}$

(b) Para cualquier k $\in$ $\mathbb{Z}$ calcula el cierre de {k} en X.

Me siento un poco confuso a la hora de calcular los cierres. Creo que cada conjunto de la forma {2k-1, 2k, 2k+1} es clopen, ya que para cualquier k, {2k-1, 2k, 2k+1} es abierto en X y X - {2k-1, 2k, 2k+1} es la unión de conjuntos abiertos de la forma {2a-1, 2a, 2a+1}, donde a es tal que 2a + 1 < 2k - 1 o 2a - 1 > 2k + 1

El cierre de {k} dependería de su paridad. Si k es impar, entonces es su propio cierre porque es la intersección de dos conjuntos cerrados:

{ 2( $\frac{k-1}{2}$ )-1, 2( $\frac{k-1}{2}$ ), 2( $\frac{k-1}{2}$ )+1 } $\cap$ { 2( $\frac{k+1}{2}$ )-1, 2( $\frac{k+1}{2}$ ), 2( $\frac{k+1}{2}$ )+1 } = { k }

Si k es par, entonces k sólo está contenido en un conjunto y, por tanto, el cierre de {k} será el conjunto en el que está contenido:

{ 2( $\frac{k}{2}$ )-1, 2( $\frac{k}{2}$ ), 2( $\frac{k}{2}$ )+1 }

¿Es ésta la línea de pensamiento correcta para abordar este problema?

(c) Demuestre que X no cumple esta condición: Para A y B conjuntos disjuntos que son ambos cerrados en X, existen conjuntos abiertos disjuntos U y V en X tales que A $\subseteq$ U y B $\subseteq$ V.

Me confunde esta pregunta. A no tiene que ser un subconjunto propio de U y B no tiene que ser un subconjunto propio de V según la condición, así que si elegimos A = U y B = V, entonces la condición se cumple.

Answer 1

La primera parte puede hacerse de forma mucho más clara y sucinta. Sea $k\in\Bbb Z$ . Si $k$ es par, entonces $k\in\{k-1,k,k+1\}\in S$ y si $k$ es impar, entonces $k\in\{k,k+1,k+2\}\in S$ Así que $\Bbb Z\subseteq\bigcup S$ . Por otra parte, cada miembro de $S$ es un subconjunto de $\Bbb Z$ Así que $\bigcup S\subseteq\Bbb Z$ y, por lo tanto $\bigcup S=\Bbb Z$ .

No es cierto que todos los miembros de $S$ es clopen, pero no es difícil calcular $\operatorname{cl}\{k\}$ directamente. Tienes razón al pensar que depende de la paridad de $k$ aunque los detalles son bastante diferentes de lo que usted propone. En primer lugar, tenga en cuenta que si $k$ es impar, entonces $k-1$ y $k+1$ son pares, por lo que

$$\{k\}=\{k-2,k-1,k\}\cap\{k,k+1,k+2\}$$

es la intersección de dos miembros de $S$ y, por tanto, está abierto. En otras palabras, cada entero impar es un punto aislado. Supongamos ahora que $k$ es par, y que $U$ es un nbhd abierto de $k$ . Entonces por la definición de subbase existe un subconjunto finito $S_0$ de $S$ tal que $k\in\bigcap S_0\subseteq U$ . Pero el único miembro de $S$ que contiene $k$ es $\{k-1,k,k+1\}$ Así que $S_0=\big\{\{k-1,k,k+1\}\big\}$ y, por lo tanto $\{k-1,k,k+1\}\subseteq U$ . En otras palabras, cada nbhd abierto del entero par $k$ contiene el conjunto $\{k-1,k,k+1\}$ este conjunto es el conjunto abierto más pequeño que contiene a $k$ . Utilizando estas observaciones podemos demostrar que

• $\operatorname{cl}\{k\}=\{k\}$ si $k$ es par, y
• $\operatorname{cl}\{k\}=\{k-1,k,k+1\}$ si $k$ es impar.

Supongamos en primer lugar que $k$ es par. Si $\ell\in\Bbb Z$ es impar, entonces $\{\ell\}$ es un nbhd abierto de $\ell$ que sea disjunta de $\{k\}$ Así que $\ell\notin\operatorname{cl}\{k\}$ . Y si $\ell\in\Bbb Z\setminus\{k\}$ es par, entonces $\{\ell-1,\ell,\ell+1\}$ es un nbhd abierto de $\ell$ disjuntos de $\{k\}$ Así que de nuevo $\ell\notin\operatorname{cl}\{k\}$ y se deduce que $\{k\}=\operatorname{cl}\{k\}$ está cerrado.

Supongamos ahora que $k$ es impar. Si $\ell\in\Bbb Z\setminus\{k\}$ es impar, entonces $\{\ell\}$ es un nbhd abierto de $\ell$ disjuntos de $\{k\}$ y $\ell\notin\operatorname{cl}\{k\}$ . Si $\ell\in\Bbb Z$ es par, y $\ell\notin\{k-1,k+1\}$ entonces $\{\ell-1,\ell,\ell+1\}$ es un nbhd abierto de $\ell$ disjuntos de $\{k\}$ Así que de nuevo $\ell\notin\operatorname{cl}\{k\}$ . Sin embargo, nos limitamos a decir que todo nbhd abierto del entero par $k-1$ contiene el conjunto $\{k-2,k-1,k\}$ y cada nbhd abierto de $k+1$ contiene el conjunto $\{k,k+1,k+2\}$ . En particular, todo nbhd abierto de $k-1$ contiene $k$ y cada nbhd abierto de $k+1$ contiene $k$ Así que $k-1,k+1\in\operatorname{cl}\{k\}$ . Así, $\operatorname{cl}\{k\}=\{k-1,k,k+1\}$ cuando $k$ es impar.

Para la parte final del problema, observe que acabamos de demostrar que los conjuntos $\{0\}$ y $\{2\}$ están cerrados (porque $0$ y $2$ son pares). Toma $A=\{0\}$ y $B=\{2\}$ y supongamos que $U$ y $V$ son conjuntos abiertos tales que $A\subseteq U$ y $B\subseteq V$ . Teniendo en cuenta lo que hemos mostrado sobre nbhds abiertos de enteros pares en esta topología, demuestre que $U\cap V\ne\varnothing$ encontrando realmente un elemento específico de $U\cap V$ .