¿Podría alguien dar más detalles sobre esta transformación algebraica?

Question

Tengo una solución para un ejercicio y una parte no me queda clara:

$ \frac{\frac{1}{\sqrt{x - 1}} - 1}{x - 2} = \frac{1 - \sqrt{x - 1}}{(x - 2)\sqrt{x - 1}} $

¿Podría alguien explicar, por favor, cómo se ha obtenido el resultado?

La solución completa es ésta:

$ \frac{\frac{1}{\sqrt{x - 1}} - 1}{x - 2} = \frac{1 - \sqrt{x - 1}}{(x - 2)\sqrt{x - 1}} * \frac{1 + \sqrt{x - 1}}{1 + \sqrt{x - 1}} = \frac{2 - x}{(x - 2)\sqrt{x - 1}(1 + \sqrt{x - 1})} = \frac{-1}{\sqrt{x - 1}(1 + \sqrt{x - 1})}, x \ne 2 $

Answer 1

Basta con multiplicar la parte superior e inferior por $\sqrt{x-1}$ :

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{x-1}}-1}{x-2}=\frac{\Bigl(\frac{1}{\sqrt{x-1}}-1\Bigr)\sqrt{x-1}}{(x-2)\sqrt{x-1}}=\frac{1-\sqrt{x-1}}{(x-2)\sqrt{x-1}}$$

Edición: Esto es válido siempre y cuando lo que está multiplicando arriba y abajo por no es $0$ . En este caso, $\sqrt{x-1} \neq 0$ para o bien la cosa que se le dio que contiene un $\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ habría sido indefinido en primer lugar.

Answer 2

En mi jubilación, he estado yendo a institutos locales como voluntario, y me encuentro, primero, con que a los alumnos nunca se les ha explicado esta técnica de simplificación de una fracción complicada, y, segundo (mucho más desalentador), con que los profesores no sólo no están familiarizados con ella, sino que además no están dispuestos a aplicarla.

Ejemplo ilustrativo: $$ \frac{\frac12+\frac34}{\frac23-\frac16}=\frac{6+9}{8-2}=\frac{15}6=\frac52\,, $$ el primer paso se consigue multiplicando arriba y abajo por $12$ .