Derivado de $\operatorname{arcsec } x$ utilizando los primeros principios

Question

$\DeclareMathOperator{\arcsec}{arcsec}$ ¿Cómo se $\arcsec x$ diferenciado utilizando los primeros principios? He intentado sustituir $A = \arcsec(x+h)$ y $B = \arcsec(x)$ mientras se resuelve utilizando $h \to 0$ , pero no parece ser una buena idea (como $\arcsec(\sec x)$ no siempre es igual a $x$ ).

¿Podría alguien publicar una solución detallada?

P.D. En la pregunta original se pedía la derivada de $\sqrt{\arcsec x}$ He conseguido traerlo hasta aquí después de multiplicar el denominador y el numerador por el conjugado del numerador y eliminar la raíz cuadrada. Se agradece la ayuda. Muchas gracias.

Answer 1

Sea $\text{arcsec}(x+h)=2A,\text{arcsec}(x)=2B\implies\sec2B=x,\cos2B=?$

Utilizando valores principales , $\sin2B=+\dfrac1{\sqrt{1-\dfrac1{x^2}}}=+\dfrac x{\sqrt{x^2-1}}$

$$\lim_{h\to0}\dfrac{\text{arcsec}(x+h)-\text{arcsec}(x)}h=\lim_{A-B\to0}\dfrac{2A-2B}{\sec2A-\sec2B}$$

$$=\lim_{A-B\to0}\dfrac{(2A-2B)\cos2A\cos2B}{\cos2B-\cos2A} =\lim_{A-B\to0}\dfrac{(2A-2B)\cos2A\cos2B}{2\sin(A-B)\sin(A+B)}=\dfrac{\cos^22B}{\sin2B}=?$$

Answer 2

Sugerencia puede utilizar la relación $\DeclareMathOperator{\arcsec}{arcsec}$ $$\arcsec x=\frac{\pi} {2}-\arcsin\left(\frac{1}{x}\right)$$ y la fórmula $$\arcsin a - \arcsin b=\arcsin(a\sqrt{1-b^{2}}-b\sqrt{1-a^{2}})$$ Por último, también necesitará el límite estándar $$\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x} {x} =1$$