Encuentre $f'(a)$ si $f(x) = \frac {x^n - a^n}{x-a}$

Question

A continuación expondré la pregunta tipo test de mi libro de texto:

Si $f(x) = \frac {x^n - a^n}{x - a}$ para una constante ' $a$ entonces $f'(a)$ es

(A) $1$

(B) $0$

(C) no existe

(D) $\frac 12$

Esto es lo que intenté:

Usando la regla del cociente obtenemos:

$f'(x) = \frac {(n-1)x^n - nax^{n-1} + a^n}{(x-a)^2}$

Claramente,

$f'(a) = \frac 00$

Y la opción correcta según mi libro es (C). ¿Conseguir $\frac 00$ para un valor determinado de la variable (en este caso, para $x=a$ ) significa que la derivada de la función no existe en ese punto?

No satisfecho con la respuesta, factoricé el numerador de $f(x)$ y anulado el factor $(x-a)$ como a continuación:

$f(x) = \frac {(x-a)(x^{n-1} + x^{n-2}a + x^{n-3}a^2 +..........+ xa^{n-2} + a^{n-1})}{x-a}$

$\implies f(x) = x^{n-1} + x^{n-2}a + x^{n-3}a^2 +..........+ xa^{n-2} + a^{n-1}$

Diferenciando con respecto a $x$ obtenemos,

$f'(x) = (n-1)x^{n-2} + (n-2)x^{n-3}a + (n-3)x^{n-4}a^2 +..........+ a^{n-2}$

$\implies f'(a) = \Big[(n-1) + (n-2) + (n-3) + .......... + 1\Big]a^{n-2}$

$\implies f'(a) = \frac {n(n-1)}2 a^{n-2}$

Esta es una respuesta completamente diferente.

¿Qué he hecho mal? ¿Hay algún problema con la cancelación del factor $(x-a)$ ? ¿Tiene algo que ver con la continuidad y diferenciabilidad de $f(x)$ en $a$ ? ¿Y si la función fuera $f(x) = \begin{cases} \frac {x^n - a^n}{x - a}, & \text{if $x \ne a$} \\ na^{n-1}, & \text{if $x = a$} \end{cases}$ ? ¿Cómo encuentro la derivada en $x = a$ en este caso?

Answer 1

En el primer caso, la derivada $f'(a)$ no existe ya que $f(x)$ no está definido para $x=a$ y la derivada se define por

$$\lim_{x\to a} \frac{f(x)-\color{red}{f(a)}}{x-a}$$

y la existencia de $f(a)$ es necesario.

En el segundo caso se nos permite aplicar la definición por límite.

Answer 2

Si la respuesta correcta es "C", entonces están siendo muy técnicos. La función $f$ tal como está escrito, no está definido en $x = a$ . Así que no hay esperanza de evaluar el límite $\dfrac{f(x) - f(a)}{x-a}$ - no tiene un valor que poner para $f(a)$ .

Se ha dado cuenta de que la discontinuidad no definida en $x = a$ es desmontable, y en la segunda parte de tu pregunta has "reescrito" $f$ de forma que se elimine la discontinuidad. Creo que eso da la mayor comprensión de lo que está pasando, pero técnicamente tu reescrito $f$ es una función diferente de la original $f$ - uno de ellos se define en $a$ y uno de ellos no lo es.

Nuestras mentes humanas quieren decirnos que "redefinamos $f$ en cualquier discontinuidad removible para que sea continua allí", pero rigurosamente matemáticamente no ocurre a menos que se diga explícitamente. No se indica explícitamente en la pregunta del libro de texto, por lo que "C" es la respuesta técnicamente correcta.

Ahora bien, como señala Ennar, es importante que aprendas que el dominio es una parte esencial de la definición de una función, sobre todo cuando empiezas a trabajar con funciones en cálculo. Además, no dar explícitamente el dominio de una función ocurre mucho en matemáticas, así que tienes que aprender a manejar situaciones como ésta, y en una situación como ésta la respuesta técnica es la correcta.

A medida que avances y desarrolles más herramientas y un mejor lenguaje matemático deberás enfrentarte menos a preguntas de opción múltiple y más a las que preguntan "Describe qué ocurre si quieres diferenciar la función ". $\dfrac{x^n-a^n}{x-a}$ en $x=a$ .", y entonces será apropiado hacer lo que ha hecho en la segunda parte de su pregunta.

Answer 3

La segunda forma es correcta. El problema con la primera forma es que la definición de $f$ no se mantiene en $a$ . Presumiblemente, el texto significa para la definición de $f$ ampliarse a $a$ por continuidad. Entonces se tomaría el límite del cociente de diferencias como $x\to a.$ Cuando consigas $\frac{0}0{}$ como límite, no puedes concluir que el límite no existe. En breve aprenderás sobre estas "formas indeterminadas", si aún no lo has hecho.