Involuciones y grupos abelianos

Question

Supongamos que $ G $ es un grupo finito en el que al menos tres cuartas partes de los elementos son involuciones, es decir, $$ |I(G)| \geq \frac{3}{4} |G|. $$ (Aquí, $ I(G) $ denota el conjunto de todas las involuciones de $ G $ donde una involución de $ G $ se define como un elemento de grupo de orden $ 2 $ .)

(1) Supongamos que $ A $ y $ B $ son subconjuntos de un conjunto finito $ S $ . Demuestre que $ |A \cap B| \geq |A| + |B| - |S| $ .

(2) Sea $ x \in I(G) $ . Demuestre que $ |I(G) \cap x[I(G)]| \geq \dfrac{1}{2} |G| $ .

(3) Que $ x \in I(G) $ . Demuestre que $ \{ 1_{G} \} \cup \{ g \in I(G) ~|~ xg \in I(G) \} \subseteq {C_{G}}(x) $ .

(4) Utilice sus respuestas a (1)-(3) para concluir que $ G $ es un grupo abeliano.

Answer 1

(1) Esta es la Principio de inclusión-exclusión de la combinatoria básica.

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(2) Establecer $ A := I(G) $ . Sea $ x \in I(G) $ . Como la multiplicación a la izquierda por un elemento del grupo es una operación inyectiva en el grupo, vemos que $ B := xA $ tiene la misma cardinalidad que $ A $ . Por lo tanto, $$ |A| = |B| \geq \frac{3}{4} |G|. $$ Utilizando (1), obtenemos \begin{align} |I(G) \cap x[I(G)]| &= |A \cap B| \\ &\geq |A| + |B| - |G| \\ &\geq \frac{3}{4} |G| + \frac{3}{4} |G| - |G| \\ &= \frac{1}{2} |G|. \end{align}

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(3) Sea $ x \in I(G) $ y observe que $ 1_{G} \in {C_{G}}(x) $ . Supongamos que $ g \in I(G) $ satisface $ xg \in I(G) $ . Entonces \begin{align} xg &= (xg)^{-1} \quad (\text{As $ (xg)^{2} = 1_{G} $.}) \\ &= g^{-1} x^{-1} \\ &= gx, \quad (\text{As $ g^{2} = 1_{G} = x^{2} $.}) \end{align} que da como resultado $ g \in {C_{G}}(x) $ . Por lo tanto, $$ \{ 1_{G} \} \cup \{ g \in I(G) ~|~ gx \in I(G) \} \subseteq {C_{G}}(x). $$

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(4) Sea $ x \in I(G) $ . Observe que \begin{align} |{C_{G}}(x)| &\geq |\{ 1_{G} \} \cup \{ g \in I(G) ~|~ gx \in I(G) \}| \quad (\text{By (3).}) \\ &= |\{ 1_{G} \} \cup (I(G) \cap x^{-1} [I(G)])| \\ &= |\{ 1_{G} \}| + |I(G) \cap x^{-1} [I(G)]| \quad (\text{As $ 1_{G} \notin I(G) $.}) \\ &\geq 1 + \frac{1}{2} |G| \quad (\text{Applying (2) to $ x^{-1} $, which is an element of $ I(G) $.}) \\ &> \frac{1}{2} |G|. \end{align} Por lo tanto, $ [G:{C_{G}}(x)] < 2 $ lo que da como resultado $ {C_{G}}(x) = G $ o equivalentemente, $ x \in Z(G) $ .

En $ x \in I(G) $ es arbitraria, tenemos $ I(G) \subseteq Z(G) $ . Entonces como $ |I(G)| \geq \dfrac{3}{4} |G| $ se deduce que $$ [G:Z(G)] \leq \frac{4}{3} < 2. $$ Por lo tanto, $ Z(G) = G $ .

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Conclusión: $ G $ es un grupo abeliano.