Hallar el resto cuando $169\times144^{25}$ se divide por $13^{4}$

Question

Hallar el resto cuando $169\times144^{25}$ se divide por $13^{4}$

Mientras tanto lo reduje a

$\dfrac{13^{2}\times 144^{25}}{13^{4}} \\ =\dfrac{144^{25}}{13^{2}} \\ =\dfrac{12^{50}}{13^{2}} \\ $

y la función de Euler de $13^{2}$ está llegando a ser $156$

Busco un camino corto y sencillo.

Answer 1

El problema se reduce a la informática $144^{25}\pmod{13^2}$ o $25^{25}\pmod{13^2}$ o $25^{26}\pmod{13^2}$ o $25^{13}\pmod{13^2}$ . Por el teorema del binomio:

$$ 25^{13} = (26-1)^{13} = \sum_{k=0}^{13}\binom{13}{k}(-1)^{13-k}(26)^k $$ pero para cada $k\geq 2$ tenemos $26^k\equiv 0\pmod{13^2}$ et $\binom{13}{1}(26)^1\equiv 0\pmod{13^2}$ también, así que $$ 25^{13}\equiv -1\pmod{13^2},\qquad 25^{26}\equiv 1\pmod{13^2},$$ $$ 144^{25}\equiv -25^{25}\equiv 27\pmod{13^2} $$ y:

$$ 13^2\cdot 144^{25} \equiv \color{red}{4563}\pmod{13^4}.$$