Una pregunta sobre campos cuadráticos reales no-normales-euclidianos

Question

Después de acechar MO por un tiempo, decidí saltar en. ¿Por qué no empezar con una pregunta?

En concreto, tengo una pregunta sobre un conjunto natural que "mide" en cierto modo el hecho de que un campo cuadrático real no sea norma-euclidiano.

Sea $K$ sea un campo cuadrático real y sea $V$ denotan el espacio vectorial real bidimensional $K\otimes_{\mathbb Q}\mathbb{R}$ . El anillo de los números enteros $\mathcal{O}_K$ se incrusta como una red en $V$ y el cociente es un toro real $T$ dotado de un automorfismo de orden infinito inducido por una unidad fundamental. La norma de campo en $K$ se extiende de forma natural a un mapa $V\to \mathbb{R}$ (extender el automorfismo de galois y utilizar la definición habitual de norma, o simplemente trabajar en coordenadas de la manera obvia).

Ahora dejemos que $U$ sea el conjunto abierto en $V$ compuesto por todos los $y$ tal que $|Nm(y-x)|<1$ para algunos $x\in \mathcal{O}_K$ . Así, por ejemplo, $K$ es norma euclidiana si $U=V$ . En general, el complemento es un conjunto cerrado en $V$ es decir $\mathcal{O}_K$ -invariante de traslación y desciende a un conjunto cerrado $X$ del toroide $T$ .

Aquí es donde desearía saber cómo hacer uno de esos ingeniosos recuadros sombreados para resaltar la pregunta...

¿Cuál es la naturaleza del conjunto $X$ ?

Aunque no sé básicamente nada de teoría ergódica, parece que $X$ debe tener medida cero ya que está preservada por el automorfismo (ergódico) inducido por la unidad fundamental. Parece una especie de conjunto de Cantor, pero no tengo ni idea de cómo conseguirlo.

Dos preguntas concretas:

1) ¿Existe alguna forma razonable de parametrizar o describir de otro modo $X$ de forma algo explícita (una vez me topé con algo llamado "codificación aritmética binaria" que pretende ser capaz de hacer esto, pero me pareció poco adecuado para este conjunto en particular).

2) ¿Cuál es la dimensión de Hausdorff de $X$ ? ¿Tiene alguna relación con la aritmética de $K$ ? (¿No sería bonito que tuviera algo que ver con el número de clase, etc.)

Por supuesto, se podría hacer una pregunta similar sobre cualquier campo numérico distinto de $\mathbb{Q}$ y campos imaginarios cuadráticos, pero este parecía el lugar para empezar.

Answer 1

Actualización: errores de cálculo corregidos

Por si sirve de algo, he aquí un gráfico numérico de cuatro aproximaciones para el caso $\mathbb Q(\sqrt{23})$ utilizando coordenadas $(x,y)$ para representar $x + y \sqrt{23}$ . El gráfico abarca algo más que los dominios fundamentales para el toro cociente. Las zonas más grandes son los puntos $p$ tal que la norma de la diferencia con cualquiera de $5\times5$ de puntos de la cuadrícula centrados en el origen es mayor que 1. El cálculo con un $13 \times 13$ se recortan las zonas verdes, y el cómputo con un $21 \times 21$ rejilla afeita el rojo. Las zonas de color púrpura oscuro son un cálculo que tiene en cuenta los puntos de celosía $(n,m)$ con $|n| \le 60$ : tres regiones se han dividido en cuatro partes, las otras dos se han encogido y no se han dividido. Los puntos negros son los 46 puntos fijos en el toro para el mapa de Anosov. ${{24,115},{5,24}}$ correspondiente a la multiplicación por un generador $24 + 5 \sqrt{23} $ del grupo de unidades mod $\pm 1$ . (Una versión anterior era incorrecta: un error en una fórmula hacía parecer que las regiones se reducían a 3 puntos periódicos)

Parece que $X$ es probablemente un conjunto de Cantor, o que al menos contiene un conjunto de Cantor.

Como estos conjuntos son invariantes por un difeomorfismo de Anosov, estoy seguro de que se pueden deducir muchas cosas utilizando la dinámica además de la teoría de números, pero he pensado empezar compartiendo estas imágenes.

     (fuente: Wayback Machine)

He aquí un gráfico de la norma mínima de la diferencia de puntos, en una pequeña vecindad de del cuadrado unitario, a un entero algebraico $n + m \sqrt{23}$ donde $n \le 60$ . El gráfico se truncado en la norma 1, de modo que las pequeñas mesetas corresponden a las zonas moradas de la imagen anterior.

     (fuente: Wayback Machine)

La norma mínima global es el ínfimo de esta función junto con sus imágenes bajo el mapa de Anosov anterior, cuyos valores propios son $47.979$ et $.02084$ ya que $60 > 47.97$ . el infimo es a.e. 0, por ergodicidad, a medida que más y más barrancos largos y delgados se cortan a través del paisaje en dos direcciones predominantes a lo largo de las foliaciones estables e inestables del difeomorfismo de Anosov. Las mesetas mismas se estirarán en un factor de ~50 en en una dirección y un factor de 0,02 en la otra.

Para valores suficientemente pequeños de $a > 0$ el conjunto de puntos cuyo norma mínima de diferencia con un punto de la red es $> a$ contiene un conjunto de Cantor (y creo que es un conjunto de Cantor). Esto puede verse fácilmente usando una partición de Markov consistente en rectángulos cuyas aristas están en hojas de las foliaciones estables e inestables, y trasladando la dinámica a la dinámica simbólica (la secuencia de rectángulos en los que está una órbita). Cualquier conjunto cerrado de secuencias que no contenga un representante de $(0,0)$ en el toro tiene un valor mínimo positivo para la norma.

Aquí hay un gráfico similar, para el mismo campo, de puntos cuya norma mínima para el mismo conjunto de enteros algebraicos es $> 1/2$ :

     (fuente: Wayback Machine)

Esta imagen sugiere con más fuerza que la intersección será un conjunto de Cantor, de dimensión Hausdorff significativamente mayor. Esto es comprobable en principio utilizando la dinámica. La dimensión de Hausdorff debería poder calcularse, al menos numéricamente, utilizando la dinámica simbólica. Para buenos valores $b$ del corte de norma, el cierre de las coordenadas simbólicas para el conjunto correspondiente $X_b$ debe ser un subdesplazamiento de tipo finito, especificado por una matriz no negativa, y la dimensión de Hausdorff es una función de la matriz de Perron-Frobenius en comparación con el valor propio de la dinámica simbólica en el toro completo.

He aquí un diagrama del campo $\mathbb Q(\sqrt{47})$ , probando con todos los enteros algebraicos $n + m \sqrt{47}$ donde $|n| < 100$ . De nuevo, esto parece indicar un conjunto de Cantor de mayor dimensión Hausdorff que para $\mathbb Q(\sqrt {23})$ :

     (fuente: Wayback Machine)

Ya que hay una lista finita y conocida de campos cuadráticos que son norma-euclidianos, $\mathbb Q(\sqrt d)$ donde $d = −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, or\ 73,$ ( cf. el artículo de Wikipedia sobre dominios euclidianos ), sospecho que en el típico hay muchos puntos que no están cerca de la norma 1 de un punto de la red. (de lo contrario el criterio no sería tan exitoso), así que mi conjetura es que más típicamente, el subconjunto del toro donde norma mínima a un punto de celosía es $> 1$ es un conjunto de Cantor de medida 0.

Espero que alguien con conocimientos que yo no tengo añada una respuesta o comentario ( añadido desde que escribo esto, me alegra ver que Franz Lemmermeyer lo ha hecho).

Answer 2

Así las cosas, supongo que tu pregunta no tiene respuesta. Hay algunas respuestas si sustituye la condición $|N(x-y)| < 1$ por $|N(x-y)| < \kappa$ donde $\kappa$ se elige como el mínimo de todas las constantes $\lambda$ para lo cual $|N(x-y)| < \lambda$ satisface $U=V$ . Este ínfimo se denomina "mínimo euclidiano" (o, clásicamente, mínimo no homogéneo de la norma-forma del campo numérico cuadrático correspondiente).

Barnes y Swinnerton-Dyer ( Los mínimos no homogéneos de las formas cuadráticas binarias Acta Math. 87, 88, 92, 1952--1954) han estudiado el conjunto X para varias familias de campos numéricos (y $\kappa$ como arriba). El conjunto es a veces finito y a veces contablemente infinito. Jean-Paul Cerri ha obtenido resultados recientes en este sentido, Espectros no homogéneos y euclidianos de campos numéricos con rango unitario estrictamente mayor que 1 [J. Reine Angew. Math. 592 (2006), 49-62] utilizando la teoría ergódica.