¿Pueden anudarse superficies de forma interesante en un espacio de cinco dimensiones?

Question

Es posible que esta pregunta sea trivial, en cuyo caso se responderá rápidamente. En cualquier caso, me he dado cuenta de que es una pregunta básica cuya respuesta debería saber pero no sé.

A todo el mundo le gustan los nudos -múltiplos compactos unidimensionales mapeados genéricamente en múltiples compactos tridimensionales- y es natural preguntarse por los "nudos" en dimensiones superiores. Por supuesto, el espacio de mapas genéricos de una variedad compacta unidimensional a una variedad compacta cuatridimensional es conexo, por lo que no hay "nudos" interesantes. En su lugar, la gente suele pensar en "nudos superficiales en 4d", que suelen definirse como incrustado 2manifolds compactos en un 4-manifold.

Pero las superficies pueden mapearse en el espacio 4 de formas mucho más interesantes. En particular, mientras que un mapa genérico de un 1-manifold a un 3-manifold es una incrustación, dos superficies genéricas en 4-d puede ser "pegado" el uno del otro: el comportamiento genérico es tener intersecciones de puntos. Por tanto, una teoría más rica que la de las superficies incrustadas en el espacio 4-d es la que permite estas auto-intersecciones puntuales: sería la teoría de los componentes conexos del espacio de mapas genéricos.

Aun así, pensar en estas autointersecciones es difícil, y su existencia es parte de lo que hace difícil la teoría de los 2 nudos (por ejemplo, interfiere en el desarrollo de una buena teoría de "Vassiliev" para los 2 nudos). Si realmente quieres reproducir el hecho de que los mapas genéricos no tienen auto-intersecciones, deberías mover el espacio ambiente una dimensión más arriba.

De ahí mi pregunta:

¿Puede un 2-manifold compacto incrustado en un 5-manifold compacto ser interesantemente "anudado"? Es decir $L$ sea una 2manifold compacta y $M$ un 5-manifold compacto; ¿hay componentes múltiples conectados en el espacio de embeddings $L \hookrightarrow M$ ?

Supongo que la respuesta es "no", pues de lo contrario ya me habría enterado. Pero mi intuición es tan pobre que he pensado que lo mejor era preguntar.

Answer 1

Si $M$ es una zona compacta conexa $2$ -entonces se desanuda en $\Bbb R^5$ . En términos más generales, $k$ -conectado $n$ -se incrustan en $\Bbb R^{2n-k}$ siempre y cuando $k<\frac{n-2}2$ y desanudar en $\Bbb R^{2n-k+1}$ siempre que $k<\frac{n-1}2$ . Esto fue demostrado alrededor de 1961 - por Roger Penrose, J.H.C. Whitehead, y Zeeman en la categoría PL; y por Haefliger en la categoría lisa. Más tarde Zeeman e Irwin relajaron las restricciones de dimensión metaestable en el resultado PL a la codimensión $\ge 3$ (véase el "Seminario sobre topología combinatoria" de Zeeman).

Por otra parte, la unión disjunta de dos $2$ -esferas es una compacta $2$ -manifold. Definitivamente nudos en $\Bbb R^5$ según lo detectado por el número de enlace. Es decir, el grado $\alpha$ de $S^2\times S^2\to S^4$ , $(p,q)\mapsto \frac{f(p)-g(q)}{||f(p)-g(q)||}$ llamando a nuestro enlace $f\sqcup g:S^2\sqcup S^2\to\Bbb R^5$ . Un enlace no trivial es el enlace de Hopf, cuyos componentes son los factores de la unión $S^5=S^2*S^2$ . Desde $S^2$ nudos en $\Bbb R^5$ el exterior de un componente es siempre homotópicamente equivalente a $S^2$ y el número de enlace es también el grado $\lambda$ de $p(S^2)\to S^5\setminus q(S^2)\simeq S^2$ . [En dimensiones diferentes, donde $\alpha$ et $\lambda$ no son números sino clases homotópicas de esferoides (más exactamente $\alpha$ aunque un esferoide hasta la homotopía, al matar la cuña), su relación es más interesante: $\alpha$ es igual a la suspensión de $\lambda$ (hasta una señal).]

Por el teorema de Haefliger (1963) de que las incrustaciones en el rango metaestable se clasifican por homotopía equivariante de espacios de configuración de dos puntos, el número de enlace para cada par de componentes es el único invariante de incrustaciones suaves $2$ -en $\Bbb R^5$ . Esto recupera el resultado de que las superficies conectadas se desanudan en $\Bbb R^5$ y además implica que no hay nada nuevo para $3$ -enlaces de componentes. [Por el contrario, existen los anillos borromeos de tres $3$ -esferas en $\Bbb R^6$ cuya no trivialidad se detecta, por ejemplo, por un triple producto de Massey no evanescente en el complemento. Pensando en los anillos borromeos habituales en $\Bbb R^3$ en los tres planos de coordenadas, se pueden hacer tres copias de $S^1*S^1$ en los subproductos bifactoriales de $\Bbb R^2\times\Bbb R^2\times\Bbb R^2$ .]

También las teorías de nudos lisos, PL y topológicas coinciden para nudos lisos $n$ -manifolds en suaves $m$ -en el rango metaestable $m>\frac{3(n+1)}2$ (esto incluye $2$ -en $\Bbb R^5$ ). Más detalladamente, el teorema de clasificación de Haefliger implica que si dos incrustaciones suaves en el rango metaestable son isotópicas (=homotópicas a través de incrustaciones topológicas, posiblemente salvajes) entonces son suavemente isotópicas. El teorema de clasificación PL de Weber (1967) implica además que cada incrustación PL de una variedad lisa en el rango metaestable es isotópica en el entorno a una incrustación lisa. También se deduce de los resultados de Edwards y Bryant que una incrustación topológica arbitraria en codimensión $\ge 3$ es isotópica a una incrustación PL, y, a partir de resultados de Bryant-Seebeck, que una incrustación topológica localmente plana en codimensión $\ge 3$ es isotópica ambiental a una incrustación PL.

Answer 2

Responderé para incrustaciones de S n en S n+3 .

No en la categoría PL por Zeeman .
No en la categoría topológica por Stallings .
Sí en la categoría diferenciable. Véase Levine et Haefliger .

EDITAR : En el caso $n=2$ de la que trata la pregunta, el resultado es no también en la categoría diferenciable, como se ha señalado en otras respuestas.

Answer 3

Creo que la primera referencia en la literatura para el resultado que quieres es Wen-Tsun Wu, On the isotopy of $C^r$ -de dimensión $n$ en euclidiano $(2n+1)$ -espacio. Sci. Record (N.S.) 2 1958 271--275.

En él demuestra que dos $C^r$ -boda $M^n \to \mathbb R^{2n+1}$ son isotópicas, siempre que $n>1$ . $M^n$ es cualquier $n$ -manifold (el título no menciona él también asumió conectado, pero es). Las técnicas son ahora estándar -- sus dos incrustaciones $f_0, f_1 : M \to \mathbb R^{2n+1}$ son homotópicas $f_t : M \to \mathbb R^{2n+1}$ así que mira el "gráfico", $(x,t) \longmapsto (f_t(x), t)$ como mapa $M \times [0,1] \to \mathbb R^{2n+!} \times [0,1]$ y luego aproximar por una inmersión y considerar el uso apropiado del truco de Whitney.

Answer 4

Una referencia importante sobre los nudos de dimensiones superiores es este artículo de Zeeman de 1962. El documento considera la existencia de nudos $k$ -esferas en el interior $n$ -esferas para general $n>k$ . Demuestra que en el entorno lineal a trozos a $k$ -esfera en un $n$ -es siempre sin nudos siempre que la codimensión $n-k$ es estrictamente mayor que 2, por lo que, en particular, no hay 2 esferas anudadas en $S^5$ o $\mathbb R^5$ en la categoría PL.

Como dice en la introducción del artículo, las esferas anudadas pueden existir, sin embargo, en la categoría lisa. Las de menor dimensión son algunos nudos $S^3$ en $S^6$ encontrado por Haefliger . Sin embargo, Haefliger también demuestra que $S^k$ siempre está desanudado en $S^n$ cuando $n>3(k+1)/2$ y para $k=2$ obtenemos $n>4.5$ por lo que las 2-esferas se desanudan en $S^5$ o $\mathbb R^5$ también en la categoría de suaves.

No conozco las pruebas, pero tal vez se pueda demostrar que $S^2$ nudos en $S^5$ descomponiendo $S^2$ como un mango 0 y 2, engrosar y extender esta descomposición al conjunto de $S^5$ y luego simplificar las asas como en la prueba de Smale de la conjetura de Poincaré. Intercambiando asas de 1 y 4 por asas de 3 y 2 nos quedamos sólo con asas de 2 y 3, estando el núcleo de cada una de ellas unido a un círculo (necesariamente no anudado) en $S^4$ (el límite del mango 0). La descomposición resultante de $S^5$ debería ser estándar y, por tanto, la 2-esfera no tiene nudos (supongo).

Answer 5

Yo siempre pensamiento que el resultado de Haefliger se aplicaba en dimensiones superiores a 5, pero al hojear el manuscrito, parece que 5 podría ser un caso crítico. Por favor, lea atentamente las páginas 404 y 405.

Para responder a su pregunta original, el hecho de que las superficies en el espacio 4 puedan intersecarse y anudarse no afecta a la posibilidad de anudarse en la dimensión 5. Por otra parte, es fácil construir anudamientos de 3-manifolds en 5-espacio girando y girando-girando.