Prueba de probabilidad con desigualdad triangular

Question

Estoy revisando una prueba y me cuesta entender por qué la primera línea es menor que la segunda. $$P(|\hat{Z}| < c)$$ $$\leq P(|Z| - |\hat{Z} - Z | < c)$$ $c$ es un real positivo.
$\hat{Z}$ es una variable aleatoria, $Z$ es el parámetro de población que $\hat{Z}$ estimaciones. $Z \neq 0$ .

Mis pasos hasta ahora: $$P(|\hat{Z}| < c)$$ $$=P(|\hat{Z} - Z - (-Z)| < c)$$ $$=P(|(-Z)-(\hat{Z} - Z)| < c)$$ $$\leq ? P(|(-Z)|-|(\hat{Z} - Z)| < c)$$ La desigualdad triangular indica que $$|a - b| \geq |a| - |b|$$

debido a esto, la desigualdad con el signo de interrogación no debería ser al revés. ¿Importa cuál sea la distribución de $\hat{Z}$ ¿lo es?

Answer 1

Utilizando la desigualdad triangular, observe que

$$|Z|=|Z-\hat{Z}+\hat{Z}| \leq |\hat{Z}-Z|+|\hat{Z}|$$

Así,

$$|Z|-|\hat{Z}-Z|\leq |\hat{Z}|$$

si tenemos $|\hat{Z}| \leq c$ Por lo tanto $|Z|-|\hat{Z}-Z| \leq c$

Así que el evento $ \{|\hat{Z}| \leq c\} \subset \{|Z|-|\hat{Z}-Z| \leq c\}$ finalmente,

$$P(|\hat{Z}| \leq c) \leq P(|Z|-|\hat{Z}-Z| \leq c)$$

La distribución de $Z$ no importa