¿Puedo utilizar Banach-Steinhaus?

Question

Sea $X$ sea un espacio de Banach y $(x_n)_n$ un subconjunto de $X$ tal que $$\sum_{j\geq1}|\langle\phi,x_j\rangle|<.\quad\forall\phi\in X^*$$ Demuestra que $$\sup_{\|\phi\|=1}\sum_{j\geq1}|\langle\phi,x_j\rangle|<.$$

¿Puedo usar Banach-Steinhaus para mostrarlo rápidamente? No estoy muy seguro porque no tengo un subconjunto magre de $X$ .

Answer 1

Pista: Sí, aplicar Banach-Steinhaus para $\{\phi\mapsto\langle\phi,x_n\rangle:n\in\Bbb N\}\ \subseteq\ \mathcal B(X^*,\Bbb C)$ .
(Requiere $X^*$ sea Banach, lo que es cierto para cualquier normalizado espacio $X$ .)