Problema con forzar con árboles perfectos

Question

He estado leyendo la sección de Forzar con Perfecta Árboles en Jech de la Teoría de conjuntos. La noción de forzar consiste todo perfecto árboles $T\subseteq Seq(\{0,1\})$ donde $p$ es más fuerte que el $q$ si $p\subset q$.

Ahora, vamos a $G$ ser genéricas perfecto árboles. Definir $f=\bigcup\{s:(\forall p\in G)s\in p\}.$ veamos por qué $f$ es de hecho una función. Para cada una de las $n<\omega$ deje $D_n$ ser el conjunto de todos los perfectos árboles $p$ tal que $s\upharpoonright n$ es constante para$s\in p$, $D_n$ es densa, y por lo tanto podemos elegir el $p_n\in G\cap D_n$, entonces es fácil probar que $f=\bigcup_n s_n$ donde $s_n\in p_n$ es el único elemento de $p_n$ de la longitud de la $n$.

A continuación el autor afirma que el $V[G]=V[f]$ con ningún argumento. Así que mi pregunta es, ¿por qué hace esto?

Como el filtro genérico es mínima sobre el suelo modelo $V$, esto es, para cualquier conjunto de ordinales $X\in V[G]$ tenemos que $X\in V$ o $G\in V[X]$, es suficiente para mostrar que $f\notin V$. He probado con dos enfoques para probar esto:

• Mostrando que $f:\omega\rightarrow\{0,1\}$ es un Cohen real.
• Probar que para cualquier filtro de $G'$ de perfecto árboles que $f\upharpoonright n\in p$ todos los $p\in G'$ tenemos que $G'$ es genérico más de $V$.

Sin embargo, creo que el primer enfoque es erróneo, y no tengo ni idea acerca de cómo probar la segunda.

Gracias.

Answer 1

Yo reclamo que $G$ es definible a partir de $f$; de hecho, $G$ consiste, precisamente, de la planta modelo de árboles que contienen los genéricos de la rama de $f$. Por supuesto, cada árbol en $G$ contiene la rama de $f$, por definición. Supongamos ahora que hay un árbol de $T\notin G$ que contiene la rama de $f$. Deje $S\in G$ ser una condición para forzar a ese $T$ contiene $f$. Desde $T$ no $G$, no debe ser un nodo de $x\in S\setminus T$. Vamos a denotar por $S_x$ la inducida por el subárbol de $S$, es decir, el conjunto de nodos en $S$ compatible con $x$. A continuación, $S_x$ es un árbol perfecto, fortalece $S$, y las fuerzas que los genéricos de la rama pasa a través de $x$. Pero esto significa que $S_x$ no puede obligar a que $T$ contiene el genérico de la rama. Contradicción.

Answer 2

Miha la respuesta es la respuesta a tu pregunta principal, pero permítanme responder a la pregunta en el título: ningún Sacos real es cada vez Cohen.

Por ejemplo, considere el árbol de todas las secuencias nunca contienen "00." Esto es claramente un árbol perfecto, por lo que corresponde a una condición en Sacos de forzar; pero real, para satisfacer esta condición no será Cohen, debido a que el conjunto de los reales contienen "00" es denso abierto para Cohen forzar.

En general, está abierto denso en el Cohen sentido a caer de cualquier árbol perfecto cuyo conjunto de ramas ha vacío interior en el espacio de Cantor; y el conjunto de estos árboles es denso abierto en los Sacos sentido. Así que no hay Sacos genérico real nunca será Cohen genérico.