¿Qué números no están representados por $5xy+2x+2y$ ?

Question

¿Qué números no están representados por $5xy+2x+2y$ ? ¿Tienen una densidad positiva?

Esto me surgió mientras investigaba algunos casos aquí . Esto es lo que he encontrado:

• Todos los pares se representan con $x=0$ y todos $3m+1$ se representan con $x=-1$ .
• Hay infinitos $n$ no representado, por ejemplo, cualquier $n$ para lo cual $5n+4$ es primo.
• Si $5xy+2x+2y=n$ entonces $|x|$ ou $|y|$ es inferior a $|n|/5+2$ por lo que para cada $n$ esto es decidible.
• De los números con valor absoluto inferior a 6000, aproximadamente el 80% están representados por este polinomio.

Esperaría una buena caracterización para estos números, pero no la he encontrado.

Answer 1

$n = 5xy + 2x + 2y$ sólo si $5n+4 = (5x+2)(5y+2)$ . Por tanto, una condición necesaria y suficiente es que $5n+4$ tienen un factor congruente con $2 \bmod 5$ --- o $3 \bmod 5$ ya que estás permitiendo negativo $x,y$ como $x = -1$ . Esto facilita decidir si un determinado $n$ se representa así. En particular, los números pas representado por $5xy + 2x + 2y$ son aquellos para los que $5n+4$ es el producto de primos todos congruentes a $\pm 1 \bmod 5$ (ya has encontrado el caso especial de prime $5n+4$ ). Tales números tienen densidad cero, pero la convergencia es lenta: la densidad en $|n| < X$ es asintóticamente proporcional a $1 \left / \sqrt{\log X} \right.$ .

P.D. Aquí hay algo rápido gp código para contar tales $n$ hasta $N$ :

f(v) = sum(n=1,#v,(v[n]%5!=1)&&(v[n]%5!=4))
F(n) = f(factor(n)[,1])==0
S(N) = sum(n=1,N,F(5*n+4))

Para $N=6000$ el recuento $S(N)$ es $1204$ lo que concuerda con Matt F. 's que "alrededor del 80%" de los $n \leq 6000$ son representado por $5xy+2x+2y$ . Tomando $N=10^5, 10^6, 10^7, 10^8$ encuentra $S(N) = 17992$ , $166612$ , $1557892$ , $14680787$ (el último recuento tardó unos 5,5 minutos en calcularse); se aproxima bastante a $CN \left / \sqrt{\log(5N)} \right.$ para $C$ entre $0.65$ y $0.66\,$ .