Mi entendimiento es que si tienes un espacio homogéneo $X = G/H$ para un grupo reductor $G$ y $X$ es normal y tiene un $B$ -para un subgrupo Borel $B$ entonces se llama a $X$ esférica.
Alguien me preguntó de dónde venía "esférico" y no tenía ni idea. Pregunté a otras personas más informadas y tampoco lo sabían. Así que ahora hago la misma pregunta aquí.
Como me están haciendo la misma pregunta repetidamente y como las respuestas dadas no son del todo correctas, pongo otra respuesta a pesar de que el hilo es tan antiguo.
Según una charla de Domingo Luna hacia 1985, el término variedad esférica no deriva de esferas, al menos no directamente. En primer lugar, las esferas son demasiado atípicas, por ejemplo, su teoría de compactificación es bastante inútil. En segundo lugar, en la teoría de invariantes, las esferas se denominan cuádricas.
El verdadero origen es un artículo de Manfred Krämer de 1979 titulado "Subgrupos esféricos en grupos Lie compactos contiguos" . Krämer había observado que una de las construcciones estándar para funciones esféricas se generaliza de espacios simétricos a espacios homogéneos arbitrarios $G/H$ con $G$ un grupo de Lie compacto. Si $G/H$ no contiene demasiadas funciones esféricas (es decir, conmutan bajo convolución) entonces llamó a $H$ un subgrupo esférico y procedió a clasificarlos por simple $G$ en el documento mencionado anteriormente.
Por la misma época se observó (Vinberg-Kimelfeld) que la condición de Krämer es equivalente a que un subgrupo de Borel tenga una órbita abierta en la complejización de $G/H$ es decir, $G_{\mathbb C}/H_{\mathbb C}$ siendo esférica. Como la lista de Krämer proporciona muchos ejemplos no triviales, Brion-Luna-Vust inventaron su término.
Así que las implicaciones son $$ \text{sphere}\Longrightarrow\text{spherical function}\Longrightarrow\text{spherical variety} $$ La primera flecha esta vez tiene sentido, ya que las funciones esféricas se consideraron seriamente por primera vez sobre esferas (polinomios de Legendre y Gegenbauer).
Marty está definitivamente en lo cierto sobre el origen de la terminología en el estudio de los espacios homogéneos $G/H$ de grupos Lie reductores. Debido al ejemplo especial que implica un cociente de grupos ortogonales especiales, el práctico término *esférico" se asoció al subgrupo $H$ o el espacio homogéneo. A su vez, esto se trasladó a la situación de los grupos algebraicos y cocientes similares en el caso algebraicamente cerrado, donde las variedades esféricas podían caracterizarse como aquellos espacios homogéneos que admitían una órbita densa bajo un subgrupo de Borel. Por ejemplo, véase la introducción de un influyente artículo de Brion-Luna-Vust que apareció en Inventiones 84 (1986) con el título Espacios esféricos homogéneos . Mientras que la etiqueta variedad esférica es conveniente, pierde su sentido literal en esta generalidad.
Confirmando las respuestas de Jim Humphreys y Marty, página 17 de (la traducción inglesa de) [Vinberg, È. B., Commutative homogeneous spaces and co-isotropic symplectic actions, MR1845642] contiene:
En el caso más sencillo de la esfera bidimensional $S^2= SO(3)/SO(2)$ este resultado [el hecho de que el $SO(3)$ -módulo $\mathbb{C}[S^2]$ i gracias a las funciones esféricas de Laplace utilizadas en física matemática. física matemática. Este es el origen del término "espacios esféricos homogéneos".
Tenga en cuenta que si $X$ es un afín $G$ -variedad (con $G$ un grupo reductor complejo), entonces $X$ tiene una órbita densa para un subgrupo de Borel $B \subset G$ sólo si $\mathbb{C}[X]$ es libre de multiplicidad $G$ -módulo.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
