Prueba integral sin el supuesto de monotonicidad

Question

Sea $f: R \to R$ sea un t.s. continuo y no negativo. $\lim _{x\to \infty} f(x)=0$

I. Si la serie $\sum_{n=k}^{\infty}f(n)$ convergente entonces la integral $\int_{k}^{\infty} f(x)\,dx$ es convergente .

II. Si la integral $\int_{k}^{\infty} f(x) \,dx$ es convergente entonces la serie $\sum_{n=k}^{\infty}f(n)$ convergente.

Sé que esas son algunas de las condiciones para la prueba integral, pero no tengo información si $f(x)$ es monótonamente decreciente. Por favor, ayúdame a probar o encontrar contra-ejemplo.

Answer 1

Sin la condición de que $f(x)$ ser monótona, esto es falso. Como pista: intenta encontrar una función que sea $0$ en cada número natural pero tal que

$$\int_n^{n + 1} f(x) \, dx = \frac1n$$

o posiblemente algún múltiplo escalar de éste.

Entonces $$\sum_{n \ge 1} f(n) = 0$$ pero $$\int_1^\infty f(x) \,dx = \sum_{n \ge 1} \int_n^{n + 1} f(x) \, dx = \sum_{n \ge 1} \frac1n = \infty.$$

Es probable que le resulte más fácil empezar con una imagen.

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He aquí un ejemplo de una función de este tipo.

$$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{n} (x - n) & \text{if }n \le x < n + \frac12 \\ -\frac{2}{n} (x - (n + 1)) & \text{if } n + \frac12 \le x < n + 1 \end{cases}$$ donde $n = 1, 2, 3, \dots$ (Aquí hay una versión interactiva). Se trata de una secuencia de triángulos con altura $2/n$ y anchura $1$ . Por tanto, el área sobre el intervalo $[n, n+ 1]$ es $\frac12 \mathrm{base} \times \mathrm{height} = \frac{1}{n}$ .