( Editado para añadir más detalles sobre los paseos aleatorios en grafos infinitos ) Sea $G$ sea un grupo con generadores $g_1, \dots, g_n$ y que $\epsilon > 0$ se dará. Sea $K$ sea un complejo celular con $n$ aristas correspondientes a los generadores con grupo fundamental $G$ (esto puede obtenerse cosiendo 2 discos para cada uno de un conjunto posiblemente infinito de relatores).
Podemos visualizar un subgrupo $H$ en términos del espacio de cobertura $K_H$ de $K$ con grupo fundamental $H$ . Si $H$ tiene índice infinito, entonces este espacio de cobertura es infinito. Consideremos un paseo aleatorio sobre los vértices de $K_H$ (es decir, el espacio coset $G/H$ ) donde en cada momento, hay igual probabilidad de permanecer fijo o ir a uno de los $2n$ vecinos. La probabilidad de estar en un vértice concreto en el momento $t$ evoluciona mediante una forma discreta del Laplaciano: es una combinación convexa de la probabilidad de estar en el $2n+1$ elementos en la vecindad de radio 1 (el grafo puede tener bucles o múltiples aristas entre vértices, por lo que se trata de una media ponderada).
Reclamación: la secuencia de distribuciones de probabilidad obtenidas por paseos aleatorios de longitud $k$ en el esqueleto 1 de $K_H$ tiende a $0$ en cada nodo del grafo. Observe que para subgrupos de índice finito, este proceso es una transformación lineal positiva de un espacio vectorial de dimensión finita, alguna potencia de la misma es estrictamente positiva, por lo que converge al único vector propio positivo del teorema de Perron-Frobenius: la distribución uniforme. distribución uniforme. Una forma de entender la situación para un grafo infinito es considerar la lista de probabilidades ordenadas en orden decreciente. El valor máximo siempre disminuye, a menos que todos sus vecinos tengan el mismo valor. Por lo tanto, la secuencia de valores máximos converge. La tasa de disminución es al menos tan grande como la diferencia entre el máximo y el siguiente valor más alto, por lo que para que el máximo converja, es necesario que el siguiente valor más alto converja al mismo valor. Del mismo modo, la suma de los dos primeros valores disminuye al menos en proporción a la diferencia del mínimo respecto al tercer valor más alto (ya que al menos uno de los dos puntos con los dos valores más altos tiene un vecino con valor no mayor que el tercer valor más alto). En general, la suma acumulada de los primeros $n$ más alto valores siempre disminuye, y a un ritmo al menos tan grande como el paso al $n+1$ ás altos. De ello se deduce que todas las probabilidades convergen puntualmente a una función constante. Para un grafo infinito, esto implica que todas convergen a 0.
Este argumento es uniforme para todos los subgrupos de índice infinito $H$ . Por lo tanto, para cualquier $\epsilon$ , después de algún tiempo $T(\epsilon)$ el paseo aleatorio tendrá una probabilidad menor que $\epsilon$ de estar en el punto base de $K_H$ . En otras palabras, la distribución de probabilidad del paseo aleatorio en $G$ tiene suma sobre $H$ menos de $\epsilon$ . En resumen, durante algún tiempo $T(n, \epsilon)$ dependiendo sólo de $\epsilon$ y el número $n$ de generadores para $G$ para cualquier subgrupo $H$ de índice infinito (o incluso de índice menor que, por ejemplo $2/\epsilon$ ) el tiempo $T(n,\epsilon)$ probabilidad de que el paseo aleatorio esté en $H$ es inferior a $\epsilon$ .
Creo que esto ya responde a la pregunta en espíritu: en lugar de un conjunto de prueba, esto da una función de prueba de soporte compacto. Creo que una extensión de este argumento debería responder el problema tal como se plantea, pero en este momento no tengo la energía libre para tratar de resolver los detalles.
