Resolución de un sistema de ecuaciones no homogéneo con un valor propio

Question

Tengo el sistema:

$\left[\begin{array}{@{}c@{}} x' \\ y' \end{array} \right]= \left[\begin{array}{@{}c@{}} 3&2 \\ -2 & -1 \end{array} \right]\left[\begin{array}{@{}c@{}} x' \\ y' \end{array} \right]+\left[\begin{array}{@{}c@{}} 2e^{-t} \\ e^{-t} \end{array} \right]$

Que debería resolver utilizando la matriz fundamental.

Así que empiezo por obtener la solución homogénea:

Encuentro los valores propios; \begin{pmatrix} 3-\lambda&2 \\ -2 & -1-\lambda \end{pmatrix}

que da el determinante: $\lambda^2-2\lambda+1=0$ . Así $\lambda_1=1$ . Introduciendo esto en la matriz de la ecuación original, obtengo que x=y. Así que una solución al sistema homogéneo sería: $y_h=e^{t}\left[\begin{array}{@{}c@{}} 1 \\ 1 \end{array} \right]$

Dado que no existe una segunda solución para el determinante, lo ideal sería formar la matriz fundamental:

\begin{pmatrix} e^{t} & e^0 \\ e^{t} & e^0 \end{pmatrix}

pero es en vano. Entonces, ¿cómo puedo encontrar la solución de este sistema no homogéneo utilizando la matriz fundamental con un valor propio?

Gracias

ACTUALIZACIÓN:

Establecí la fórmula generalizada del vector propio \begin{equation} v_2(A-\lambda I)=v_2 \begin{pmatrix} 3-\lambda&2 \\ -2 & -1-\lambda \end{pmatrix} =v_1 \end{ecuación}

\begin{equation} v_2(A-\lambda I)=v_1= \begin{vmatrix} 3-\lambda&2 & | 1 \\ -2 & -1-\lambda & |-1 \end{vmatrix} \end{equation}

Ahora obtengo como dado por Moo, con eliminación Gaussiana, la matriz:

\begin{equation} \begin{vmatrix} 1 &1 & | 1/2 \\ 0 & 0 & |0 \end{vmatrix} \end{equation}

y tienen el segundo vector propio: $e_2=e^{t}\left[\begin{array}{@{}c@{}} \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right]$ .

Así que la solución homogénea es:

\begin{equation} y_h=e^{\lambda_1 t}e_1+e^{\lambda_2t}e_2=e^{t}\left[\begin{array}{@{}c@{}} 1 \\ -1 \end{array} \right]+e^{t}\left[ \begin{array}{@{}c@{}} \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \ derecha] \end{equation}

En esta fase, queda encontrar la solución particular. Sabemos que debe ser en forma de:

\begin{equation} y_p=Ce^{-t} \end{equation}

y por lo tanto la solución general es:

\begin{equation} y_p=y_h+Ce^{-t}=e^{t}\left[\begin{array}{@{}c@{}} 1 \\ -1 \end{array} \right]+e^{t}\left[ \begin{array}{@{}c@{}} \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right]+Ce^{-t} \end{ecuación}

Pero, ¿se puede decir esto?

Answer 1

Usted tiene lo que se llama un matriz deficiente por lo que necesita encontrar un vector propio generalizado .

Tenemos el sistema

$$\left[\begin{array}{@{}c@{}} x' \\ y' \end{array} \right]= \left[\begin{array}{@{}c@{}} 3&2 \\ -2 & -1 \end{array} \right]\left[\begin{array}{@{}c@{}} x \\ y \end{array} \right]+\left[\begin{array}{@{}c@{}} 2e^{-t} \\ e^{-t} \end{array} \right]$$

Encontramos un valor propio repetido de $\lambda_{1,2} = 1$ y podemos encontrar un único vector propio de

$$v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Encontrar eigenvectores generalizados no es un tema sencillo y requiere trabajo para aprender los entresijos, pero en este caso, usaremos esto ejemplo .

Resolver para $v_2$ utilizando la forma escalonada reducida (RREF) de $[A-\lambda I]v_2 = [A -I]v_2 = v_1 $

Obtenemos la matriz aumentada

$$ \left[\begin{array}{rr|r} 1 & 1 & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$

Podemos elegir

$$v_2 = \begin{bmatrix} -\dfrac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix}$$

Actualización Para los valores propios, encontramos

$$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -\lambda +3 & 2 \\ -2 & -\lambda -1 \\ \end{vmatrix} = (-\lambda+3)(-\lambda - 1) -2(-2) = \lambda ^2-2 \lambda +1 = 0$$

El resultado es

$$\lambda_{1, 2} = 1$$

Para encontrar el vector propio generalizado, resolvemos (en realidad se está utilizando el valor propio $\lambda = 1$ abajo)

$$[A - \lambda I]v_2 = [A - 1 I]v_2 = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -2 \\ \end{bmatrix}v_2 = v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$$

Es decir

$$\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -2 \\ \end{bmatrix}v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$$

Como matriz aumentada, es

$$ \left[\begin{array}{rr|r} 2 & 2 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \end{array}\right] $$

El RREF (eliminación gaussiana) es

$$ \left[\begin{array}{rr|r} 1 & 1 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$

A partir de ahí, podemos elegir

$$v_2 = \begin{bmatrix} -\dfrac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix}$$