Hallar una integral de línea cerrada utilizando el Teorema de Stokes

Question

Halla la integral de línea $\int_C \vec{F} \cdot \vec{dS}$ donde $C$ es el círculo de radio 3 en el $xz$ -plano orientado en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se mira desde los puntos $(0, 1, 0)$ en el plano y donde $\vec{F}$ es el campo vectorial $$\vec{F}(x, y, z) = \langle 2x^2z + x^5, \cos(e^y), -2xz^2 + \sin(\sin(z)) \rangle $$

Tengo $\vec{r}(u, v) = \langle u \cos (v), 0, u\cdot \sin(v)\rangle$ .

Entonces calculé que $\text{curl}(\vec{F}) = \langle 0, 2x^2 - 2z^2, 0\rangle $ et $\text{curl}(\vec{F})(\vec{r}(u, v)) = \langle 0, -u, 0\rangle$ .

Utilizando el Teorema de Stokes y tomando el producto punto obtengo la integral: $$\int_0^3\!\int_0^{2\pi} -2u^3(\cos^2v - \sin^2v) \,dvdu$$

¿Es correcto?

Answer 1

Pista: Numéricamente, la integral de línea es aproximadamente

$$\oint_{C}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}\approx254.469.$$

Pero la integral a la que llegaste desaparece a cero idénticamente:

$$\int_0^3\!\int_0^{2\pi} -2u^3(\cos^2v - \sin^2v) \,dvdu=0.$$

Así que claramente hay un problema con tu integral. Específicamente, calculaste mal el rizo. El rizo correcto es:

$$\nabla\times\vec{F}=\langle 0,2(x^2+z^2),0 \rangle.$$

¿Puede corregir ahí el resto de su trabajo?