Sobre la notación vectorial

Question

He leído que, al expresar un operador mecánico cuántico en una representación particular, la notación más formalmente correcta es $\rightarrow$ en lugar de $=$ por ejemplo, el operador de momento expresado en representación de posición debería escribirse como $$\mathbf{\hat{p}}\rightarrow-i\hbar\nabla\quad\text{rather than as}\quad\mathbf{\hat{p}}=-i\hbar\nabla$$

Aunque la mayoría de las fuentes bibliográficas (incluidos mis propios profesores) utilizan la notación de la derecha, he leído que la de la izquierda es en realidad la "formalmente correcta". Para mí tiene sentido: el objeto del lado izquierdo ( $\mathbf{\hat{p}}$ ) es independiente de la representación, mientras que la expresión de la derecha depende necesariamente de la representación elegida, por lo que en realidad no tiene sentido equiparar ambas, ya que entonces podríamos combinar $\mathbf{\hat{p}}=-i\hbar\nabla$ et $\mathbf{\hat{p}}=\mathbf{p}$ (esta última en representación del momento) para dar $-i\hbar\nabla=\mathbf{p}$ lo que claramente no tiene ningún sentido.

Esto me hizo pensar: ¿no se da también este "abuso" de la notación en los vectores? Por ejemplo, si escribo, digamos, $\mathbf{a}=\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\end{pmatrix}^T$ ¿no es el objeto del LHS independiente de la base, mientras que el objeto del RHS es la descomposición/proyección de $\mathbf{a}$ en la base elegida? Lo que estoy tratando de decir es, ¿no debería haber escrito $\mathbf{a}\rightarrow \begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\end{pmatrix}^T$ ¿en su lugar? Supongo que una forma de evitar este problema sería escribir $\mathbf{a}=a_1\mathbf{e}_1+a_2\mathbf{e}_2+a_3\mathbf{e}_3$ creo que tiene sentido colocar una igualdad aquí como el RHS explícitamente contiene información relativa a la base, es decir, tendría sentido equipararla a otra representación de $\mathbf{a}$ en una base diferente.

Para evitar malentendidos, sólo quiero saber si mi duda tiene sentido/está justificada, ya que realmente nunca se ha planteado en mi educación todavía. Y sí, sé que es un punto muy pedante y nada realmente profundo, pero a veces estas cosas aparecen en mi cabeza y me molestan un poco :)

Answer 1

Empecemos por distinguir el observable clásico $\mathbf{p}$ del operador $\mathbf{\hat{p}}$ en un espacio de Hilbert en mecánica cuántica. Los posibles valores empíricos de $p_i$ son los valores propios de $\hat{p}_i$ . ¿Qué ocurre cuando pasamos de los resultados clásicos a los de la mecánica cuántica? Pasamos de $\frac{d}{dt}\mathbf{p}=-\nabla V$ a $\frac{d}{dt}\langle\psi|\mathbf{p}|\psi\rangle=-\langle\psi|\nabla\hat{V}|\psi\rangle$ y de $\frac{p^2}{2m}+V=H$ a $\frac{\hat{p}^2}{2m}\psi+\hat{V}\psi=\hat{H}\psi$ con $\hat{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ . Sólo podemos sustituir $\mathbf{\hat{p}}$ después con $-i\hbar\nabla_\mathbf{x}$ en cualquiera de las dos ecuaciones si $\psi$ está en $\mathbf{\hat{x}}$ -espacio. De hecho, en $\mathbf{\hat{p}}$ -espacio $\mathbf{\hat{x}}=i\hbar\nabla_\mathbf{p}$ .

$\mathbf{\hat{p}}$ es independiente de la represen expresión de la derecha depende necesariamente de la representación elegida

Ambos se transforman como vectores.

¿no debería haber escrito $\mathbf{a}\rightarrow\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\end{pmatrix}^T$ ¿en su lugar?

La afirmación frecuente $\mathbf{\hat{p}}=-i\hbar\nabla_\mathbf{x}$ realmente significa $\mathbf{\hat{p}}\psi=-i\hbar\nabla_\mathbf{x}\psi$ limita $\psi$ y no que los operadores sean literalmente iguales. Este es un punto importante a entender, que no tiene analogía en vectores con entradas no valoradas por operadores como $\mathbf{a}$ . El motivo para utilizar $\rightarrow$ no es el mero hecho de que las entradas vectoriales varíen con la base.