Sea $A_1, A_2, \ldots, A_n$ sea una colección de sucesos en un espacio de probabilidad. Existen $2^n - n - 1$ subconjuntos S de $\{1, 2, \ldots, n\}$ para los que podemos o no tener $P(\bigcap_{j \in S}A_j) = \prod\limits_{j\in S}P(A_j)$ $(*)$ . (Cuando $S$ está vacío o tiene un solo elemento, esto es trivialmente cierto).
Supongamos que sabemos si $(*)$ se cumple para cada $S$ excepto uno, que llamaré $T$ . ¿Existe algún caso en el que podamos deducir a partir de lo que sabemos si la igualdad se cumple o no para $T$ ?
Por ejemplo, supongamos $n = 3$ y que sabemos que la igualdad es válida para $\{1, 2\}$ , $\{1, 3\}$ , $\{2, 3\}$ pero queremos saber si $(*)$ es válido para $T = \{1, 2, 3\}$ . En este caso concreto, sólo nos preguntamos si podemos saber si tres sucesos son independientes entre sí dado que son independientes por pares. Pero sabemos que podemos encontrar sucesos independientes por pares que no son mutuamente independientes y también sucesos independientes por pares que son mutuamente independientes. Por lo tanto, no podemos saber si $(*)$ es válido para $T$ sólo con la información que nos dieron.
Edición: Voy a precisar mi pregunta como primer paso para responderla. En primer lugar, necesitaré algunas definiciones:
Definición 1 : Sea $A_1, A_2, \ldots, A_n$ sea una colección de sucesos en un espacio de probabilidad. Para cada $S \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}$ ponemos $\delta_{S} = 1$ si S cumple $(*)$ et $\delta_{S} = 0$ de lo contrario.
Definición 2 : Sea $A_1, A_2, \ldots, A_n$ sea una colección de sucesos en un espacio de probabilidad. Entonces configuración de esta colección es el hipergrafo $H = (\{1, 2, \ldots, n\}, E)$ donde $S \in E$ si $\delta_{S} = 0$ .
Ahora puedo reformular mi pregunta así: ¿es falsa la siguiente conjetura?
Conjetura : Todo hipergrafo $H = (\{1, 2, \ldots, n\}, E)$ es la configuración de alguna colección $A_1, A_2, \ldots, A_n$ de sucesos en un espacio de probabilidad, siempre que $\emptyset \notin E$ et $\{1\}, \{2\}, \ldots, \{n\} \notin E$ .
Aunque quiero que la conjetura sea falsa, espero que sea cierta. Así que supongo que debemos intentar demostrarla. Pero no me parece obvio cómo hacerlo.
Puede ser interesante observar que para cada número natural $n$ hay $2^{2^n - n - 1}$ diferentes hipergrafos $H$ (como en la conjetura)
(Es bastante: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5E%282%5En+-+n+-+1%29 .)
Pero algunos de ellos pueden "transformarse" en otros mediante reindexación, como el hipergrafo con una sola arista que une los vértices $1$ et $2$ que es básicamente el mismo que el hipergrafo con una sola arista que une los vértices $2$ et $3$ .
