Existencia de una base cuyos elementos no pertenecen a la unión de subespacios dados

Question

Sea $A$ et $B$ sean dos subespacios propios no triviales de un espacio vectorial $V$ . Demostrar que, hay una base $S$ de $V$ tal que, si $x \in S$ entonces $x \notin A \cup B.$

Answer 1

Pista: Puedes hacer la prueba por contradicción.

Supongamos que no existe tal base.

Matemáticamente, implica que " Dada cualquier base S del espacio vectorial V, los elementos que pertenecen a S también pertenecen a A y B. "

Ahora, los subespacios A y B tienen sus propias bases. Como la afirmación anterior tiene " Dado cualquier ", podemos elegir una base S para V tal que los vectores de la base (vectores en S) no pertenezcan a la base de A y B.

Como hemos dicho que el vector en S está en A y B, se puede escribir como una combinación lineal de los vectores base de A y B.

A partir de aquí, puedes probar tú mismo (utiliza la independencia lineal de los vectores base).

Answer 2

Sea $\{ v_i\}$ sea una base para $A \cap B$ . Amplíe esto a una base de $A$ et $B$ de forma independiente, que llamaremos $\{ v_i\} \cup \{ a_i\}$ et $\{ v_i\} \cup \{ b_i\}$ respectivamente. Obsérvese que $a_i \notin B$ et $b_i \notin A$ .

Así que una base de $A + B$ es $\{ v_i\} \cup \{a_i\} \cup \{b_i\}$ . Supongamos que existe un elemento $x$ que se encuentra en $V$ pero no en $A + B$ . Tenga en cuenta que $\{ v_i\} \cup \{a_i\} \cup \{b_i\} \cup \{x\}$ es una base de $span\{x\}+A+B$ (comprueba la independencia lineal y el spanning, es fácil).

Ahora, por supuesto, tenga en cuenta que $\{v_i-x\} \cup \{a_i-x\} \cup\{b_i-x\} \cup \{x\}$ también es una base para $span(x) + A + B$ ya que contiene el mismo número de elementos, y puede utilizarse para generar los elementos de la base anterior.

Además, ninguno de estos elementos se encuentra en $A \cup B$ ya que si , por ejemplo $v_i - x \in A \cup B$ entonces $x \in v_i + (A \cup B) \subset A + B$ una contradicción.

Ahora, completa la base $\{v_i-x\} \cup \{a_i-x\} \cup\{b_i-x\} \cup \{x\}$ para obtener una base de $V$ . Tenga en cuenta que todos los elementos añadidos a esta base no estarán en $A \cup B$ ya que los elementos que quedan por abarcar no están en $A + B$ . Por lo tanto, se trata de una base deseada.

Supongamos ahora que $A + B = V$ de modo que no $x$ existe como en el caso anterior.

Sea $y = 2\sum v_i + 2\sum a_i+2\sum b_i$ . Claramente, $y \notin A \cup B$ .

En esta fase, consideremos el conjunto $\{y\} \cup \{y-v_i\} \cup \{y-a_i\} \cup \{y-b_i\}$ . Está claro que esto abarca $A+B =V$ ya que podemos utilizarla para generar la base anterior (por ejemplo, $b_i = -(y-b_i) + y$ ). También está claro que ninguno de estos elementos está en $A \cup B$ (por ejemplo, si $y-a_j \in A$ entonces $(2 \sum v_i + 2\sum a_i + 2\sum b_i)- a_j \in A$ contradicción como $2\sum b_i \notin A$ . Si $y-a_j \in B$ entonces $2\sum a_i - a_j \in B$ una contradicción, ya que al menos $a_j$ tiene coeficiente distinto de cero).

Podemos reducir el tamaño de este conjunto para que sea linealmente independiente, pero eso implica sólo eliminar elementos, de modo que los elementos restantes no estén todos en $A \cup B$ y forman una base de $V$ . Por lo tanto, hemos terminado.

De acuerdo, esta respuesta parece complicada. Intentaré buscar una más sencilla, pero sin duda es correcta.