Demostración de que un Álgebra C* contiene un operador compacto

Question

En mi clase de análisis funcional estamos tratando actualmente con álgebras C*, y acabo de encontrarme con este problema:

Sea $ \mathbb{H} $ sea un espacio de Hilbert separable, y supongamos que tenemos $ A \subset B(\mathbb{H}) $ un Álgebra C* de operadores acotados de operadores acotados sobre H. Supongamos ahora que existe $ a \in A $ y que existe un operador compacto $ K \in K(\mathbb{H}) $ tal que $ ||a-K|| < ||a|| $ . Debemos demostrar que A contiene un operador compacto en H que no es el operador cero, es decir $ A \cap K(H) \neq \{0\} $ .

Soy bastante nuevo en C* Algebras y todavía no tengo mucha intuición pero no veo muy bien como hacer esto. No encuentro la manera de hacerlo. Desde luego agradezco toda ayuda.

Answer 1

He aquí una respuesta en términos de un resultado estándar de la teoría del álgebra C*.

Teorema: Todo inyectivo $*$ -homorfismo de una C*-álgebra a otra isométrica.

Además de este resultado, necesitaremos saber que el cociente de una C*-álgebra por un ideal cerrado tiene sentido, y que el resultado es una C*-álgebra. En particular, tenemos el álgebra de Calkin $Q(H)=B(H)/K(H)$ la C*-álgebra de operadores acotados modulo los operadores compactos.

Considere ahora la restricción a su álgebra $A$ del mapa cociente $\pi:B(H) \to Q(H)$ . Suponiendo que su álgebra $A$ no contiene ningún operador compacto, esta restricción es inyectiva, por lo tanto isométrica por el teorema. Es decir, para cada $a \in A$ la norma de $a$ es igual a la norma de $\pi(a) \in Q(H)$ . Pero, recordando la definición de la norma cociente, esto dice exactamente que $$\|a\| = \inf_{k \in K(H)} \|a-k\|$$ es decir, la distancia desde $a$ a los compactos es igual a la norma de $a$ . Por lo tanto, no hay $k \in K(H)$ con $\|a\| > \|a-k\|$

Probablemente sería un ejercicio instructivo desgranar la demostración del teorema y ver cómo se aplica a este caso concreto.