Dado es un pde no lineal de primer orden $$f\equiv16p^2z^2+9q^2+4z^2-4=0\;;\text{where $ p=\frac{dz}{dx} $ and $ q=\frac{dz}{dy} $}$$ He intentado resolverlo con el método de Charpit. Las siguientes fueron las ecuaciones auxiliares de Lagrange para encontrar la segunda ecuación $g$ . $$\frac{dp}{p(32p^2z+8z)}=\frac{dq}{q(32p^2z+8z)}=\frac{dx}{-32pz^2}=\frac{dy}{-18q}$$ De esto la segunda ecuación que obtuve fue $g\equiv \frac pq=a$ sustituyendo el valor de p de aquí en $f$ obtenemos el valor de q y también de p de la siguiente manera, $$q=\pm2\sqrt{\frac{1-z^2}{9+16a^2z^2}}\;\text{and}\;p=\pm2a\sqrt{\frac{1-z^2}{9+16a^2z^2}}\;$$ para los cálculos posteriores tomé sólo los signos +ve, escribiendo $dz=pdx+qdy$ y sustituyendo los valores la expresión final queda así, $$\sqrt{\frac{9+16a^2z^2}{1-z^2}}dz=2adx+2dy$$ Me he quedado atascado al no poder integrar el lado derecho de la ecuación.
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El primer paso consiste en sustituir x bt t e y por $\lambda t$ con $\lambda$ una constante arbitraria. Haciendo esto obtenemos la ecuación \begin{equation} \frac{d}{dt} z(t)= 4 \lambda\sqrt{\frac{1-z^2}{9+16 \lambda^2z^2}} \end{equation} Se trata del caso $x \neq 0$ ya que las ecuaciones $x=t$ y $y = \lambda t$ no permite la posibilidad de $x = 0$ y $y = \lambda t \neq 0$ . El caso $x = 0$ también se puede tratar haciendo que el límite $x \rightarrow 0$ en la solución de la ecuación anterior, ya que la solución de la es continua. En cuanto a la solución puede cambiar las variables de la ecuación mediante la sustitución de $t$ por $\alpha(\beta)$ y $z(t)$ por $\beta$ . De este modo se obtiene la ecuación \begin{equation} \frac{1}{\alpha^{'}(\beta)} \sqrt{16 \lambda^2 \beta^2+9}=4 \lambda \sqrt{1-\beta^2} \end{equation} Que puede resolverse utilizando la integral elíptica incompleta de segundo tipo. Así que \begin{equation} \alpha(\beta)= \frac{3}{4 \lambda} \int_0 ^{\arcsin{\beta}} \sqrt{1-(\frac{16 \lambda^2}{9} \sin(x))^2} dx \end{equation} Sin embargo, este enfoque implica restricciones en los posibles valores de $\lambda$ .
