Qué es una explicación intuitiva para la regla que $(a^b)^c = a^{bc}$. Estoy tratando de envolver mi cabeza alrededor de él, pero realmente no puedo hacerlo.
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Xenph Yan
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Cuando $b$ y $c$ son números enteros positivos, podemos hacer el siguiente argumento: $$(a^b)^c=\underbrace{(a^b)\times(a^b)\times\cdots\times(a^b)}_{c\text{ times}}=$ $ $$\underbrace{\left(\underbrace{a\times a\times\cdots \times a}_{b\text{ times}}\right)\times\left(\underbrace{a\times a\times\cdots \times a}_{b\text{ times}}\right)\times\cdots\times \left(\underbrace{a\times a\times\cdots \times a}_{b\text{ times}}\right)}_{c\text{ times}}=$ $ $$\underbrace{a\times a\times \cdots\times a}_{bc\text{ times}}=a^{bc}$ $
Voy a suponer que $b$ $c$ son enteros positivos y que $a$ es un "número" (que en realidad no importa mucho lo $a$ es...).
Supongamos que tengo $b \times c$ copias del número de $a$. Puedo colocarlos en un $b \times c$ matriz rectangular: es decir, con $b$ filas y $c$ columnas. Cuando me multiplicar todos los $b \times c$ estos $a$'s juntos, puedo llegar a $a^{bc}$.
Por otro lado, supongamos que fijamos en una columna de la matriz. En esta columna he $b$ $a$'s, de modo que el producto de todas las entradas de una columna es $a^b$. Pero ahora he a $c$ columnas en total, de modo que el producto de todas las entradas se obtiene multiplicando el producto común de todas las entradas en una columna dada por sí misma $c$ veces, o $(a^b)^c$.
Por lo tanto $a^{bc} = (a^b)^c$.
Si usted desea justificar esta identidad al $b$ $c$ son de otras cosas además de los enteros positivos-por ejemplo, los números reales, o infinito cardenales -- eso es otra cosa: por favor, pregunte.
spender
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fostandy
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No es una regla en el sentido de un teorema, sino de una definición. (A principios de entrenamiento en matemáticas, incluso en un cálculo, hay una tendencia, para administrativo/enseñanza de la conveniencia, para confundir a los teoremas y definiciones, llamando a todas esas cosas "reglas".) Es simplemente una cuestión de la notación de ser elegido de tal manera que es lo que podemos llamar "fortuito". Vamos a considerar tres casos.
x – y = x + (-y), como se puede comprobar por medio de ejemplos numéricos, pero es realmente una cuestión de definición: que es el fortuito manera en la que x – y es DEFINIDA.
x/y = x(1/y), y no es igual a 0, como se puede comprobar por medio de ejemplos numéricos, pero es realmente una cuestión de definición: que es el fortuitious manera en que x/y se DEFINE.
una elevada a la potencia b = exp(b*log(a)), para positivo, como se puede comprobar por medio de ejemplos numéricos, pero es realmente una cuestión de definición: se basa en la gran cantidad de cálculos numéricos de la experiencia, que es el fortuito forma en que los matemáticos decidieron DEFINIR a la potencia b.
Ahora a tu pregunta. Para positivo y arbitrario, b y c (o arbitrarias distinto de cero y un número entero b y c), la expresión para la potencia de (bc) se DEFINE, para los métodos de representación de la conveniencia, ser (a el poder de la b) a la potencia de c. El hecho de que es sólo una conveniencia notacional se puede ver si una es negativa y no tanto b y c son enteros . Es de suponer que usted estaría de acuerdo con la afirmación de que en cualquier (válido) expresión matemática, se debe ser capaz de reducir cualquier fracciones ocurrir a su mínima expresión, sin afectar el valor de la expresión. Pero eso no sucederá si a es negativo, decir, -1, b es 2, y c = 1/4: ((-1 elevado a la potencia 2))elevado a la potencia (1/4) es 1, y esta debe ser igual a (-1 elevado a la (2/4) poder), que es igual a (-1 elevado a la 1/2 de potencia), que es la unidad imaginaria, no la unidad.
Así, la respuesta corta a tu pregunta es: se trata simplemente de un caso fortuito definición, basada en una extensa numérico de la experiencia. Su pregunta surgió simplemente por el hecho de que usted carece de una dosis suficiente de esa experiencia. No es suficiente sólo piense en esto: usted tiene que asimilar.
