Solicitud de referencia: "Resoluciones" de $K_n$ para $n$ impar

Question

Una resolución (en el sentido de diseño combinatorio) de $K_{n}$ es una colección de conjuntos de aristas de $K_{n}$ de modo que dentro de cada conjunto de aristas, cada vértice aparezca una vez, y en toda la colección, cada arista aparezca una vez. (Si lo prefieres, es una colección de coincidencias completas que en conjunto utilizan cada arista exactamente una vez).

Incluso para $n$ existe una construcción bien conocida de una resolución. Suponiendo que los vértices están etiquetados $1,2, \ldots n$ definir $X_{i}$ el conjunto que contiene $(i,n)$ , $(i-1,i+1)$ , $(i-2,i+2)$ etc., reduciendo mod $n-1$ según sea necesario. Esto puede interpretarse como un calendario para los partidos de un torneo round-robin: cada serie es el conjunto de partidos que se jugarán en un día determinado, y las propiedades de la resolución garantizan que cada equipo jugará una vez cada día.

Si $n$ es impar, una resolución clásica es imposible. Sin embargo, la interpretación del problema desde el punto de vista de los torneos sugiere una generalización: el problema pasa a ser encontrar un calendario de partidos en el que cada equipo juegue contra todos los demás exactamente una vez, y cada equipo juegue exactamente 2 partidos al día. Podemos adaptar el algoritmo anterior para resolver este problema. Definimos $X_{i}$ el conjunto que contiene $(i-1,i+1)$ , $(i-2,i+2)$ , $\ldots$ , $(i -\frac{n-1}{2},i+ \frac{n-1}{2})$ , reduciendo mod $n$ según sea necesario. A continuación, $X_{1}$ contiene todos los vértices excepto 1. Para cada par $(x,y)$ en $X_{1}$ podemos formar el conjunto $Y_{(x,y)} = X_{x} \cup X_{y} \cup \{(x,y)\}$ . Es fácil comprobar que los conjuntos $Y_{(x,y)}$ dividir los bordes de $K_{n}$ y cada uno contiene cada vértice exactamente dos veces, resolviendo el problema.

Me gustaría mucho encontrar aquí una referencia para el caso impar. Todos los libros sobre torneos que he encontrado prueban el caso par, pero no he visto ninguna discusión sobre la generalización al caso impar. (Y me sorprendería ser el primero en darme cuenta.) Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

No puedo encontrar una referencia explícita a esto, sin embargo, un diseño de torneo equilibrado impar (ver Ejercicio 3 en p206 de Ian Anderson's Combinatorial Designs and Tournaments, Oxford 1997) tiene similitudes. En pocas palabras, se parte de la construcción clásica de un diseño de torneo resoluble para un número par de equipos (véase la página 13 del mismo libro) y, a continuación, se eliminan todas las partidas en las que interviene el elemento infinito. Lo que queda es un diseño en el que los equipos juegan exactamente dos veces en cada sede. Tomando esta construcción e intercambiando las sedes y los días, se obtiene un calendario como el suyo, en el que los equipos juegan exactamente dos veces por día.