Acotamiento total del conjunto $A= \{(x_n)_{n=0}^{\infty} : \sum_{n=0}^{\infty}n \cdot \lvert x_n \rvert \le 5 \}$ en espacios secuenciales.

Question

$A= \{(x_n)_{n=0}^{\infty} : \sum_{n=0}^{\infty}n \cdot \lvert x_n \rvert \le 5 \}$ . ¿Es este conjunto totalmente acotado en los espacios:

(a) $X=l_1$ , $d(x,y)= \sum_{n=0}^{\infty} \rvert x_n -y_n \rvert $
(b) $X=l_2$ , $d(x,y)= (\sum_{n=0}^{\infty} (\rvert x_n -y_n \rvert)^2)^{1/2} $
(c) $X= \omega $ , $d(x,y)= \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n}\frac{\rvert x_n -y_n \rvert}{1+\rvert x_n -y_n \rvert}$ donde $\omega = \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ .

No tengo ni idea ni experiencia en estos cálculos. ¿Pueden ayudarme? Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

EDIT: Había pasado por alto el hecho de que la indexación de secuencias comienza a partir de $0$ en lugar de $1$ . Es evidente que $A$ no está acotado, por lo que no puede estar totalmente acotado.

Si la indexación comienza a partir de $1$ en lugar de $0$ entonces la acotación total es cierta en los tres casos:

Consejos para 1) y 2): Tome cualquier secuencia $(x_n^{(j)})$ en $A$ . Utilice un procedimiento diagonal para extraer una subsecuencia $(x_n^{(j_k)})$ tal que $x_n=\lim_{k \to \infty} x_n^{(j_k)}$ existe para cada $n$ . A continuación, utilice el lema de Fatou para demostrar que $(x_n) \in A$ . [ Es importante señalar que $\sum n|x_n| <\infty$ implica que $(x_n) \in l_1$ y $(x_n) \in l_2$ ]. Puesto que cada secuencia en $A$ tiene una subsecuencia convergente se deduce que $A$ está totalmente acotada.

Para 3) observe que $A \subset [-5,5]^{\mathbb N}$ . Este producto es compacto por el Teorema de Tychonoff. [ La topología inducida por su métrica es la misma que la topología del producto). Por lo tanto $A$ es un subconjunto de un espacio métrico compacto y, por tanto, totalmente acotado.

Answer 2

$a).\ $ Para demostrar la acotación total, para un $\epsilon>0,$ necesita encontrar un $\epsilon$ - que captura cada elemento de $A$ . Para refutar la acotación total, hay que encontrar una $\epsilon>0$ para los que falla la definición. Si tomamos $\epsilon=1/2$ y considerar la colección infinita de secuencias

$(x_n^1)=(1,0,\cdots,0,\cdots ),\ (x_n^2)=(2,0,\cdots,0,\cdots );\cdots ,(x_n^k)=(k,0,\cdots,0,\cdots )$ ,

todos ellos en $A$ porque $\sum^{\infty}_{n=0}nx_n^k=0\le 5$ vemos que la distancia entre dos cualesquiera de ellos es mayor que $1/2$ por lo que no hay $\epsilon$ -red que los contiene. Por lo tanto $A$ no está totalmente acotada.

$b).\ $ y $c).$ se tratan de forma similar Observación:

Puede ser interesante cambiar un poco el ejercicio para ver mejor cómo funcionan estos análisis. Tomemos

$A= \{(x_n)_{n=0}^{\infty} : \sum_{n=0}^{\infty}(n+1) \cdot \lvert x_n \rvert \le 5 \}$ y hacer $a)$ . He aquí una idea:

Por comodidad del argumento, tomemos $\epsilon=1.$ Ahora,

si $(x_n)\in A,$ su primer componente $x_1$ debe cumplir $-5\le x_1\le 5$ . Por lo tanto, podemos tomar las bolas de radio $1/2$ sobre las secuencias cuyos primeros componentes son $4.75,4.5,4,3.5,3,,2.5,2,1.5,1,.5,-.5,-1,-1.5,-2,-2,5,-3,-3.5,-4,-4.5,-4.75$ y cero en cualquier otra posición. Hay finitamente muchos y todos están en $\ell_1$ .

El segundo componente de $(x_n)$ debe cumplir $-5/2\le x_2\le 5/2$ por lo que repetimos el procedimiento anterior para encontrar finitamente muchas bolas centradas en secuencias cuya primera componente sea una de las anteriores y cuya segunda componente se obtenga como en el primer paso, pero utilizando el intervalo $-5/2\le x_2\le 5/2$ . Así que ahora tomamos todas las combinaciones posibles de los dos componentes que acabamos de definir, para obtener un número finito de $\ell_1$ y por tanto un número finito de bolas de radio $1/2$ centrado en cada uno.

Continuamos de esta manera, hasta que en el undécimo paso, tenemos que $-5/12\le x_5\le 5/12$ y en este punto nos damos cuenta de que si nuestra secuencia debe estar en $A$ entonces todas sus componentes, incluida ésta y después de ésta, deben estar a una distancia de cero menor que $1$ .

Esto significa que podemos tomar todas las bolas de radio $1/2$ centrada en las secuencias que hemos construido previamente en los pasos $1$ a $10$ con componente cero para $n\ge 11$ . Por construcción, el número de tales bolas es finito y cada miembro de $A$ está en uno de ellos.

Es fácil ver que este procedimiento funcionará para cualquier $\epsilon>0$ por lo que tenemos en este caso que $A$ está totalmente acotada.

Answer 3

El conjunto no está totalmente acotado en ninguno de los casos.

Tenga en cuenta que $B=\mathbb{R} \times \{0\} \times \{0\} \times \cdots \subset A$ .

Desde $B$ no está acotado no puede estar totalmente acotado.

Para ilustrarlo, tomemos la secuencia $x_n = (n,0,0,...) \in A$ . Esto no tiene subsecuencia convergente.