Ayuda para evaluar un logaritmo

Question

Un texto de precálculo nos pide que evaluemos $\log_{8}\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{256}}{\sqrt[6]{32}}$

Hago lo siguiente: $\log_{8}\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{(2^2)^3\cdot 2^2}}{\sqrt[6]{2^3\cdot 2^2}}$
$\equiv \log_{8}\dfrac{\sqrt{2}\cdot 2^2\cdot\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt[6]{2^2}}$

$\equiv \log_{8}\dfrac{2^2\cdot\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2}}$

y entonces me quedo perplejo.

¿Pistas?

Answer 1

$$ \log_{8}\left(\frac{2^2\cdot\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2}}\right) = \log_8 \left(2^2\cdot \sqrt[3]2\right) = \log_8 2^{7/3} = \frac 73 \log_8(2)= \frac 73 \cdot \frac 13 = \frac 79$$

$$8^{1/3} = 2 \iff \log_8 2 = \frac 13$$