Función suryectiva de $S^n$ a $S^m$ .

Question

Tengo este problema y no se como atacar ciertas partes del mismo, por lo que agradecería si alguien me pudiera aportar pistas de las partes en las que estoy atascado:

• Demuestra que para cualquier número entero $\Sigma S^n$ es homeomorfo a $S^{n+1}$

• Sea $g\colon X\longrightarrow Y$ continua. Demostrar que la función $g\times id_I\colon X\times I\longrightarrow Y\times I$ induce una función continua $\Sigma g\colon \Sigma X\longrightarrow \Sigma Y$

• Deducir que para cualquier par de enteros positivos $m,n>1$ existe una función suryectiva continua $f\colon S^n\longrightarrow S^{m}$ .

Veo muy claro que para la primera parte tengo que usar la norma del vector $(x,t)\in S^n\times I$ pero no veo por qué está bien definida (es necesario demostrar que está bien definida ya que $\Sigma S^n$ es un cociente de espacios, ¿no?).

Para la segunda parte supongo que tengo el mismo caso de la primera parte, porque puedo definir $\Sigma g=g$ si $t\neq 1,0$ en $(x,t)$ , pero no veo como corregir la parte de los extremos de la suspensión por el cociente.

El tercero suena lógico que cuando $n>m$ utilizando la suspensión de la inclusión $i\colon S^n\longrightarrow S^m$ dará un y función suryectiva, pero tengo la pregunta: ¿Es posible cuando $n<m$ ?

Answer 1

Toma $I=[-1,1]$ para simplificar y definir $f:S^n\times I\to S^{n+1}$ por

$$f(x_1,\ldots, x_n, z)=(rx_1,\ldots,rx_n, z)$$ $$r=1-z^2$$

Así que he elegido $r$ de tal forma que $\lVert f(x_1,\ldots,x_n, z)\rVert=1$ . También puede comprobar fácilmente que

$$f(X, z)=f(X',z')\mbox{ if and only if }(X=X'\mbox{ and } z=z')\mbox{ or }z=z'\in\{-1, 1\}$$

Ahora bien, esta función produce obviamente una biyección continua para una suspensión normal $SS^{n}\to S^{n+1}$ . Y por tanto es un homoemofismo (ya que el dominio es compacto).

Para generar una biyección continua para la suspensión reducida hay que dar un paso más. Tenemos que colapsar todos los elementos a lo largo del arco de la esfera que une dos polos polares. Así pues $(a_1, \ldots, a_n)\in S^n$ sea un punto fijo. Elige

$$g:S^{n+1}\to S^{n+1}$$

de tal forma que $g(x_1,\ldots, x_n, z)=g(y_1,\ldots, y_n, z')$ si y sólo si ( $x_i=y_i$ y $z=z'$ ) o ( $x_i=y_i=a_i$ ). La existencia de dicho mapa no parece ser trivial o al menos no estoy seguro de cómo demostrarlo todavía. Tal vez pueda ser completado por alguien más.

De todos modos $g\circ f$ induce ahora una biyección continua $\sum S^n\to S^{n+1}$ que es un homeomorfismo ya que el dominio es compacto.

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Para el segundo, prueba primero con algo más sencillo.

Lema. Sea

$$f:X\to Y$$

sea un mapa continuo. Consideremos 2 relaciones: $\sim_X$ en $X$ y $\sim_Y$ en $Y$ . Supongamos ahora que para todo $x, y\in X$ tenemos: si $x\sim_X y$ entonces $f(x)\sim_Y f(y)$ . Entonces tenemos una función continua bien definida

$$F:X/\sim_X\to Y/\sim_Y$$ $$F([x]_{\sim_X})=[f(x)]_{\sim_Y}$$

Prueba. $F$ está bien definida directamente a partir de la suposición de que $f$ asigna elementos relacionados a elementos relacionados. Demostraremos que $F$ es continua. En efecto, dejemos que $U$ estar abierto en $Y/\sim_Y$ . Consideremos dos proyecciones

$$\pi_X: X\to X/\sim_X$$ $$\pi_Y: Y\to Y/\sim_Y$$

Por definición $\pi_Y^{-1}(U)$ está abierto en $Y$ . Y así $f^{-1}(\pi_Y^{-1}(U))$ está abierto en $X$ . Para completar la demostración sólo tenemos que demostrar que

$$f^{-1}(\pi_Y^{-1}(U))=\pi_X^{-1}(F^{-1}(U))$$

porque por definición de mapa cociente esto significará que $F^{-1}(U)$ está abierto. Pero esto es trivial ya que para cualquier $x\in X$ tenemos

$$\pi_Y(f(x))=[f(x)]_{\sim_Y}=F([x]_{\sim_X})=F(\pi_X(x))$$

$\Box$

Vuelve a tu tarea. Considere $g\times id$ . Nótese que para hablar de suspensión reducida hay que elegir puntos fijos en $X$ y $Y$ . Estos serán $x_0\in X$ y $g(x_0)\in Y$ . Elige $(x,y)\in X\times\{0\}\cup X\times\{1\}\cup\{x_0\}\times I$ . Es evidente que

$$(g\times id)(x, y)=(g(x), y)\in Y\times\{0\}\cup Y\times\{1\}\cup \{g(x_0)\}\times I$$

Así, el mapa inducido está bien definido y es continuo.

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Elige cualquier mapa suryectivo $f:S^1\to S^2$ (curva de llenado del espacio). Por suspensión reducida se tiene un mapa suryectivo $f^2:S^2\to S^3$ (de hecho, la suspensión lleva mapas suryectivos a mapas suryectivos). Se puede continuar esta construcción para obtener cualquier mapa suryectivo $f^n:S^n\to S^{n+1}$ . Así, para cualquier $n > m$ se obtiene un mapa suryectivo $f^{n, m}:S^m\to S^n$ siendo una composición de las definidas anteriormente.

La situación inversa es análoga. Primero definimos el mapa suryectivo $f:S^2\to S^1$ derrumbándose $S^2$ a una pelota $B^2$ (por proyección), proyectando a continuación $B^2$ a $I$ (ya que $I=B^1$ ) y, por último, envolver $I$ en $S^1$ (por $(\cos(x), \sin(x))$ mapeo). Cada una de estas transformaciones es suryectiva y también lo es su composición. Por suspensión y composición se obtiene un mapa suryectivo $f^{n, m}:S^m\to S^n$ donde $n < m$ .