Sea $n \in \mathbb{N}$ . Demostrando que $13$ divide $(4^{2n+1} + 3^{n+2})$

Question

Sea $n \in \mathbb{N}$ . Demostrar que $13 \mid (4^{2n+1} + 3^{n+2} ). $

Intento: Quería demostrar que $(4^{2n+1} + 3^{n+2} ) \mod 13 = 0. $ Para el primer trimestre, tengo $4^{2n+1} \mod 13 = (4^{2n} \cdot 4) \mod 13 = \bigg( ( 4^{2n} \mod 13) \cdot ( 4 \mod 13 ) \bigg) \mod 13. $ Pero sigo sin saber cómo simplificar el primer término del paréntesis grande.

¿Alguna ayuda/sugerencia?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$4^2\equiv3\pmod{13}\implies4^{2n}=(4^2)^n\equiv3^n$$

Ahora saca $3^n$ como factor común.

Answer 2

Prueba la inducción. Para $n=0$ el término $4^{2n+1} + 3^{n+2}$ se convierte en $4 + 9 = 13$ así que está bien.

Entonces supongamos que 13 divide a $4^{2n+1} + 3^{n+2}$ considere $4^{2(n+1)+1} + 3^{(n+1)+2} = 4^{2n+3} + 3^{n+3}$ .

Esto equivale a $16 \cdot 4^{2n+1} + 3 \cdot 3^{n+2} = 13 \cdot 4^{2n+1} + 3\cdot( 4^{2n+1} + 3^{n+2})$ que es divisible por $13$ si el número entre paréntesis lo es.

Answer 3

Se puede hacer fácilmente por inducción matemática . Si ponemos $n=0$ , $1$ etc entonces es verdad . Sea $4^{2n+1}+3^{n+2}\equiv 0\pmod {13}$ . Tenemos que demostrar que $4^{2n+3}+3^{n+3}\equiv 0\pmod {13}$

Ahora:

$4^{2n+3}+3^{n+3}$ .

\= $16*4^{2n+1}+3*3^{n+2}$

\= $13*4^{2n+1}+3*(4^{2n+1}+3^{n+2})$

\= $13*4^{2n+1}+3*13X$

\= $13*Y\equiv 0\pmod {13}$ .

Answer 4

Por el teorema del binomio, $$ 4^{2n+1} + 3^{n+2} =4\cdot 16^n+9\cdot 3^n =4\cdot (13+3)^n+9\cdot 3^n =4(13a+3^n)+9\cdot 3^n =13(4a+3^n) $$

Answer 5

Demostramos que $13$ divide $4^{2n+1}+3^{n+2}$ por inducción en $n$ . Si $n=1$ entonces $4^3+3^3=64+27=91$ es múltiplo de 13. Por tanto, la afirmación se cumple si $n=1$ .

Supongamos ahora que la afirmación se cumple para $n=k$ (este supuesto se denomina hipótesis inductiva). Así pues, $13$ divide $4^{2k+1}+3^{k+2}$ . Demostramos que la afirmación es válida para $n=k+1$ . Tenemos que $4^{2n+1}+3^{n+2} = 4^{2(k+1)+1}+3^{(k+1)+2} = 16 \cdot 4^{2k+1} + 3 \cdot 3^{k+2}$ . Para utilizar la hipótesis inductiva, reescribimos esta última expresión como $3\{4^{2k+1}+3^{k+2} \} + 13 \cdot \{ 4^{2k+1}\}$ . El primer término es múltiplo de 13 por la hipótesis inductiva, y el segundo término es claramente múltiplo de 13 porque tiene 13 como coeficiente, de donde la suma es múltiplo de 13.