Por conservado por los productos que quiero decir - $\prod X_{\alpha}$ tiene propiedad $P$ si $X_{\alpha}$ tiene propiedad $P$ para todos $\alpha$ en el conjunto de índices
También, $X$ es Completamente Hausdorff si para $x\neq y$ en $X$ , $\exists$ función continua $f:X\to I$ avec $f(x) = 0$ , $f(y) = 1$ .
¿Son la Semiregularidad y el Completamente Hausdorff preservados por productos? Si no es así, ¿entonces es cierta cualquier dirección de la afirmación iff anterior?
Supongamos que $X_\alpha$ es completamente Hausdorff para cada $\alpha\in A$ y que $x,y\in X$ sean puntos distintos; existe un $\alpha\in A$ tal que $x_{\alpha}\ne y_{\alpha}$ y existe una $f_\alpha:X_\alpha\to[0,1]$ tal que $f_\alpha(x_\alpha)=0$ y $f_\alpha(y_\alpha)=1$ . Ahora defina
$$f:X\to[0,1]:z\mapsto f_\alpha(z_\alpha)\;;$$
si $\pi_\alpha:X\to X_\alpha$ es el mapa de proyección, $f=f_\alpha\circ\pi_\alpha$ . Claramente $f$ es continua, $f(x)=0$ y $f(y)=1$ . Así, $X$ es completamente Hausdorff.
Por el contrario, si $X$ es completamente Hausdorff y no vacía, entonces cada $X_\alpha$ es completamente Hausdorff: la Hausdorffidad completa es evidentemente hereditaria, y si fijamos $x\in X$ el subconjunto
$$\big\{y\in X:y_\beta=x_\beta\text{ for all }\beta\in A\setminus\{\alpha\}\big\}$$
de $X$ es homeomorfo a $X_\alpha$ .
Supongamos ahora que cada $X_\alpha$ es semiregular, y sea $\mathscr{B}_\alpha$ sea una base de conjuntos abiertos regulares para $X_\alpha$ . Entonces $X$ tiene una base $\mathscr{B}$ cuyos elementos son los conjuntos, $\prod_{\alpha\in A}U_\alpha$ tal que $U_\alpha=X_\alpha$ para todos menos finitamente muchos $\alpha\in A$ y $U_\alpha\in\mathscr{B}_\alpha$ siempre que $U_\alpha\ne X_\alpha$ . Sea $B=\prod_{\alpha\in A}U_\alpha\in\mathscr{B}$ y que $F=\{\alpha\in A:U_\alpha\ne X_\alpha\}$ . Es fácil comprobar que los conjuntos $\pi_\alpha^{-1}[U_\alpha]$ para $\alpha\in F$ se abren regularmente en $X$ ; $B=\bigcap_{\alpha\in F}\pi_\alpha^{-1}[U_\alpha]$ y la intersección de un número finito de conjuntos abiertos regulares es abierta regular, por lo que $B$ es abierto regular, y $X$ es semiregular.
Por el momento no estoy seguro de la otra dirección, ya que la semiregularidad no es hereditaria.
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