Si $E$ es Lebesgue medible, demostrar que existe un conjunto cerrado $F$ $F \subset E$ y $m(E\setminus F)<\epsilon$

Question

Sólo teniendo problemas con este problema. En primer lugar, se dice que para probar que si $E$ es Lebesgue Medible, y $\epsilon>0$ es arbitrario, entonces existe un abierto $O$ tal que $E \subset O$$m(O\setminus E)<\epsilon$. Ahora para esta parte, ya que $E$ es Lebesgue medible, yo era capaz de tomar la definición de estar exterior de Lebesgue medible (el infimum de abrir los revestimientos de $E$) y de fácil construcción $O$ a partir de eso, y funciona.

Pero ahora quiero mostrar que hay un $F$ cerrado con $F \subset E$$M(E\setminus F)<\epsilon$. El problema es que no puedo averiguar cómo construir esta $F$! La idea parece intuitivamente obvio, pero me siento como que me dan ninguna de las herramientas para la construcción de un subconjunto cerrado de un conjunto arbitrario que satisface estas condiciones. Me estoy perdiendo algo que es obvio aquí?

Gracias!!

Answer 1

Si $E$ es mensurable, entonces su complemento $E^\complement$ también es mensurable y podemos encontrar un abierto sistema $W$ lo que $E^\complement \subset W$ y $m(W - E^\complement) < \varepsilon$. Que $F = W^\complement$ ser un conjunto cerrado. Desde $E^\complement \subset W$, tenemos $F \subset E$. Por otra parte, $W-E^\complement = E-F$. Por lo tanto, $m(E-F) < \varepsilon$.