La fusión de sintaxis y semántica lleva a la lógica infinita

Question

Está escrito (cf. Moore 1980 (p. 100) que los lógicos matemáticos (p. ej. Peirce, Schröder, Hilbert) de principios del siglo pasado aún no distinguían entre sintaxis y semántica a la hora de formular teorías lógicas y lógico-matemáticas.

Trato de entender cómo la confusión de sintaxis y semántica podría (como afirma Moore) fomentar el paso a lógicas infinitas.

Un ejemplo sencillo se refiere a cómo entender los cuantificadores. Una comprensión puramente sintáctica de los cuantificadores los consideraría como ciertas expresiones formales regidas por determinadas reglas sintácticas (por ejemplo, que $\exists$ distribuye sobre disyunciones lógicas mientras que $\forall$ no, reglas intro y elim en la prueba).

Sin embargo, se dice que Peirce entendía los cuantificadores existenciales y universales como idénticos a disyunciones y conjunciones (posiblemente) infinitas. Esto hace que la cuantificación dependa del dominio de una manera que la versión sintáctica no parece ser.

Otro caso es la exigencia de Lowenheim de que al introducir una expresión de primer orden se especifique también el dominio de los individuos, donde el cuantificador se extiende sobre el nombre de cada individuo del dominio. También en este caso Moore afirma que la confusión de sintaxis y semántica alentó el paso de Lowenheim a un lenguaje que permite infinitas conjunciones, disyunciones e incluso cuantificadores transfinitamente numerosos:

Las expresiones y cuantificadores de Lowenheim implicaban tanto la semántica como la sintaxis. Es decir, consideraba que una expresión de primer orden requería que se especificara un dominio de individuos, donde el cuantificador se extendía sobre el nombre de cada individuo en el dominio. Así pues, el dominio (un concepto semántico) se incorporaba a la expresión sintáctica. en la expresión sintáctica. Del mismo modo, no distinguía explícitamente los nombres de individuos de los propios individuos, ni introdujo símbolos de relación de forma distinta a las relaciones. Una vez más, la fusión parcial de sintaxis y semántica fomentó el uso de expresiones infinitamente largas. (Moore 1980, p. 100)

¿En qué se aparta el método de Lowenheim de un enfoque sintáctico "puro"? ¿Es el punto principal que al entender que el cuantificador abarca nombres de individuos en lugar de los individuos mismos, Lowenheim se compromete a un lenguaje con infinitas constantes para que cualquiera de los cuantificadores tenga dominios infinitos? (Esto parecería ser un punto diferente de la forma en que se suponía que Peirce había sido llevado a un lenguaje infinito, como se ha descrito anteriormente).

Answer 1

Andrej da una buena respuesta general, pero aquí hay una elaboración más específica de lo que creo que puede haber estado en la mente de Moore aquí.

Trabajar en el lenguaje de PA, o algún lenguaje similar destinado a ser interpretado en los números naturales. Considere las dos fórmulas (en notación moderna): $$ \exists x\ \varphi(x) \qquad \qquad \bigvee_{n \in \mathbb{N}} \varphi(\bar{n}) $$ donde $\bar{n}$ es el número $S^n(0)$ como siempre.

¿Cuál es la diferencia? Respuesta obvia: la primera fórmula es un cuantificador existencial; la segunda, una disyunción (infinitaria). Pero esa respuesta terminológica es un poco insatisfactoria, ya que (como sabes) la cuantificación existencial puede analizarse como un tipo de disyunción, y viceversa. La verdadera diferencia esencial es que la primera cuantifica sobre la segunda. dominio de los individuos considerados mientras que el segundo cuantifica sobre el números naturales reales .

Podemos mostrar concretamente esta diferencia observando sus interpretaciones en un modelo no estándar de AP. Sin embargo, mientras sólo se interpreten en $\mathbb{N}$ no hay diferencia: son completamente equivalentes, ya que el dominio de los individuos es los números naturales reales. Así que para articular la diferencia, tenemos que ver las fórmulas como parte de una sintaxis que se puede interpretar en muchas estructuras diferentes, no simplemente como una forma de describir la estructura única $\mathbb{N}$ .

En resumen, si la sintaxis no se establece como independiente de la semántica, sino sólo para una estructura fija específica, entonces se pierde la distinción entre cuantificadores existenciales y disyunciones infinitas indexadas por el dominio. Del mismo modo, se pierde la distinción entre tener infinitas constantes en el lenguaje e infinitos elementos en el dominio, y así sucesivamente. En una configuración moderna, en la que el lenguaje se define independientemente de la interpretación, estas distinciones están claras, pero en las primeras configuraciones no era así en absoluto.

Por lo tanto, cuando uno articula por primera vez la distinción, puede analizar las ambiguas cuantificaciones existenciales de la lengua antigua bien como indexadas internamente (es decir, cuantificaciones existenciales en el sentido moderno), bien externamente (es decir, como disyunciones infinitarias en el sentido moderno). Con un ojo moderno, hacemos lo primero sin pensar; pero para Löwenheim, era igual de razonable entenderlas en el segundo sentido, y ser conducido así a lógicas infinitarias.

Answer 2

Me parece que esta pregunta nos pide que adivinemos el pensamiento de los matemáticos de principios del siglo XX. Obviamente, yo no puedo hacer tal cosa, pero tal vez pueda explicar cómo los primeros puntos de vista de la lógica tienen mucho sentido desde el punto de vista de la lógica moderna.

En los tratamientos clásicos de la lógica de primer orden y la teoría de modelos, la dicotomía entre sintaxis y semántica es bastante pronunciada, y fácilmente se tiene la impresión de que es necesaria. Se enseña a los estudiantes que la sintaxis finitaria debe ser la norma. Sin embargo, esto no es más que una elección de diseño. Por ejemplo, en lógica categórica se suele considerar que lenguajes y lógicas internas de diversos tipos de categorías, sin insistir en que la sintaxis finitaria sea primordial o primaria.

Pongamos un ejemplo. El lenguaje interno de un particular topos $\mathcal{E}$ tiene como tipos todos los (nombres de) objetos, y como formadores de términos todos los (nombres de) morfismos del topos, de los cuales puede haber un número arbitrario. Si existe una distinción formal entre un individuum y su nombre, ciertamente no se insiste en ella ni se considera esencial. Este punto de vista se aproxima al de Löwenheim, que "no distinguía explícitamente los nombres de los individuos de los individuos mismos". Como la distinción no existía, no podía conducir a una lógica infinitaria.

Además, tomamos como axiomas todas las ecuaciones de la forma $x : A \vdash f(g(x)) = h(x)$ siempre que $h = g \circ f$ en $\mathcal{E}$ . (La sintaxis finitaria habitual es especial debido a su carácter universal. matemáticas propiedad: es el lenguaje interno del inicial topos (donde, por supuesto, "inicial" debe interpretarse adecuadamente).

Lo que quiero decir es que parece que la mentalidad de los lógicos de principios del siglo XX estaba más cerca de la lógica categorial que de la lógica de primer orden y la teoría de modelos. O dicho de otro modo, la confusión de sintaxis y semántica era no es un error . El uso de la palabra "fusión" para describir lo que hicieron revela una visión muy sintáctica de la lógica, arraigada en la filosofía del lenguaje (¿humano?), que llegó a dominar la lógica durante varias décadas. Es fácil argumentar en sentido contrario y presentar la dicotomía como un defecto: la preocupación de los lógicos de mediados del siglo XX por la sintaxis pura demuestra su incapacidad para pensar de forma abstracta, y puede compararse con el periodo histórico del análisis matemático durante el cual "función" se equiparaba a "expresión".

La pregunta invita principalmente a dar respuestas basadas en opiniones, por lo que he votado a favor de cerrarla.

Permítanme abordar la cuestión de las lenguas infinitas. También en este caso debemos darnos cuenta de que "finito frente a infinito" no es una cuestión política o filosófica, o si lo es, debería ser arrebatada a políticos y filósofos y convertida en una cuestión propiamente matemática. El lenguaje debe ser tan infinito como lo exija la situación. (Para mi mente geométrica, un lenguaje sin situación carece de sentido. De hecho, un lenguaje crear una situación por sí misma si no se da ninguna de antemano). Así, el lenguaje interno de las topos elementales (y de los morfismos lógicos) no es infinito porque no todas esas topos tienen una estructura infinita suficiente, pero el lenguaje interno de las topos de Grothendieck (y de los morfismos geométricos) es infinito porque las topos de Grothendieck son cocompletas.

Bajo la "confluencia" de sintaxis y semántica, la semántica sugiere naturalmente las operaciones infinitas. Contrariamente a lo que parece presuponer la pregunta, ni siquiera se parte de un lenguaje finito, y no hay ningún paso en virtud del cual se nos "conduzca" a un lenguaje infinito. Me parece impar que se explique la lógica de principios del siglo XX como si hubiera una especie de paso de la lógica finitaria a la infinitaria. Con un siglo de retrospectiva (pero quizá no con sólo medio siglo de retrospectiva) parece más natural que aparezca la distinción finito/infinito después cuando ya se ha tenido cierto éxito en la formulación de un lenguaje lógico apropiado para el dominio semántico considerado. (Por supuesto, un dominio semántico incorpora no sólo una extensión de individuos, sino también la estructura apropiada que lleva la extensión).

Una última observación: los primeros lógicos, en particular los que estudiaban álgebras booleanas completas, se inclinaban naturalmente a interpretar $\forall$ y $\exists$ como conjunciones y disyunciones muy grandes. De hecho, muchos matemáticos de hoy siguen pensando ingenuamente que los cuantificadores son versiones infinitas de las conectivas, y hace falta un poco de formación lógica para comprender que la diferencia entre $\exists$ y $\bigvee$ es un poco como la diferencia entre continuidad uniforme y puntual. Los cuantificadores son supremos e infimos infinitos sólo en determinadas situaciones, mientras que en general son linda con como descubrió W. F. Lawvere.