Una confusión sobre la demostración del teorema fundamental de la teoría del espacio de cobertura en el libro de J.P.May.

Question

Recientemente estoy leyendo "A Concise Course in Algebraic Topology" de J.P.May y aquí está la parte con la que tengo confusión:

Teorema . Sea $p : E \to B$ sea una cobertura y que $f : X \to B$ b continuo. Elija $x \in X$ , dejemos que $b = f (x)$ y elija $e \in F_{b}$ . T $g : X \to E$ tal que $g(x) = e$ y $p \circ g = f$ i $f_{*} (\pi_{1} (X, x)) \subset p_{*} (\pi_{1} (E, e))$ en $\pi_{1} (B, b)$ . Cuando se cumple esta condición, existe un único mapa de este tipo $g$ .

Prueba : Si $g$ existe, sus propiedades implican directamente que $im(f_{*}) \subset im(p_{*})$ . Así, supongamos que $im(f_{*}) \subset im(p_{*})$ . Aplicado al revestimiento $\Pi(p) : \Pi(E) \to \Pi(B)$ , análogo para groupoides da un functor $\Pi(X) \Pi(E)$ t el mapa único $g : X \to E$ de conjuntos tales que $g(x) = e$ y $p \circ g = f$ . Sólo necesitamos comprobar que $g$ es continua, y esto es así porque $p$ es un homeomorfismo local. En detalle, si $y \in X$ y $g(y) \in U$ donde $U$ es un subconjunto abierto de $E$ , vecindario abierto más pequeño $U$ de $g(y)$ que $p$ mapea homeomórficamente sobre un abierto $V$ de $B$ . Si $W$ es cualquier vecindad conexa de $y$ tal que $f (W) \subset V$ , entonces $g(W) \subset U$ mediante la inspección de la definición de $g$ .

Principalmente tengo confusión con la última frase de la prueba. ¿Cómo consigo $g(W) \subset U$ mediante la inspección de la definición de $g$ ?

Answer 1

Por definición, $g$ es la función objeto de un functor $G:\Pi(X)\to \Pi(E)$ que satisfaga $\Pi(p)\circ G=\Pi(f)$ . Así que ahora $z\in W$ y que $\gamma$ sea un camino desde $y$ a $z$ contenida en $W$ . Desde $\Pi(p)\circ G=\Pi(f)$ , $G(\gamma)$ debe ser la única ruta en $E$ a partir de $g(y)$ que es una elevación de $\gamma$ a lo largo de $p$ . Pero como $p$ se restringe a un homeomorfismo $p|_U:U\to V$ se puede construir un ascensor como $p|_U^{-1}\circ f\circ \gamma$ y por tanto por unicidad $G(\gamma)=p|_U^{-1}\circ f\circ \gamma$ . En particular, esto significa que la imagen de $G(\gamma)$ se encuentra íntegramente en $U$ y por lo tanto su punto final $g(z)=G(z)$ está en $U$ .