D $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_{0}^{1}f(x)e^{-nx}dx$$ con $f$ continua en $x\in [0,1]$
convergen (absolutamente)?
¿Si tienen para calcular la integral, ¿o puedo utilizar alguna otra propiedad de la integral?
D $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_{0}^{1}f(x)e^{-nx}dx$$ con $f$ continua en $x\in [0,1]$
convergen (absolutamente)?
¿Si tienen para calcular la integral, ¿o puedo utilizar alguna otra propiedad de la integral?
Ver que $f$ está limitada como función continua en $[0,1]$ y $$\frac{1}{n}\int_{0}^{1}e^{-nx}dx = \frac{1}{n^2}(1-e^{-n})\le \frac{1}{n^2}$$ tenemos $$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{n}\int_{0}^{1}f(x)e^{-nx}dx\right| \le M\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_{0}^{1}e^{-nx}dx \le M\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}<\infty$$
Su serie es absolutamente convergente. No son necesarios muchos cálculos. Observa que la norma suprema de $f$ existe debido a la continuidad de $f$ en un conjunto compacto. Se puede ver la convergencia absoluta utilizando lo siguiente: \begin{align} \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n}\bigg | \int^1_0 f(x) e^{-nx} dx\bigg |&\leq \sum_{n\geq 1} \frac{\Vert f\Vert_\infty}{n}\int^1_0e^{-nx} dx\\&=\sum_{n\geq 1}\frac{\Vert f\Vert_\infty}{n^2}(1-e^{-n}) \end{align} Como siempre $\Vert f\Vert_\infty :=\sup_{x\in [0,1]}|f(x)|$
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