Obtención de una distribución de valores a partir de una ecuación

Question

Dada cualquier ecuación y rango, por ejemplo,

$y = x^2 + x$ donde $x$ es un valor de $0$ a $1$ (inclusive)

¿Es posible determinar la distribución de los valores emitidos por esta función entre un rango dado de valores?

Puedo crear un programa que intente muchas $x$ y construye una distribución discreta de los valores de la ecuación que tendería hacia la distribución continua. Pero, ¿existe una forma matemática de hacerlo que llegue instantáneamente a la distribución continua?

Answer 1

Suponemos que la variable aleatoria $X$ se distribuye uniformemente en el intervalo $(0,1)$ . En términos más prácticos, suponemos $X$ se obtiene a partir del tipo habitual de (pseudo)generador de números aleatorios.

Sea $Y=X^2+X$ . Queremos la distribución de $Y$ . Es evidente que $Y$ toma valores de $0$ a $2$ . Sea $0\lt y\lt 2$ . Queremos encontrar la probabilidad de que $Y\le y$ . Tenemos $x^2+x\le y$ (donde $x$ está entre $0$ y $1$ ) si y sólo si $x\le \frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2}$ . (Esto viene de resolver la cuadrática $x^2+x-y=0$ .) La probabilidad de que $X$ es $\le \frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2}$ es $\frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2}$

Para la función de densidad de $Y$ diferenciar. Obtenemos la función de densidad $(1+4y)^{-1/2}$ en el intervalo $0\lt y\lt 2$ .