¿Cómo sabemos que las soluciones de la ecuación de Hamilton Jacobi son separables?

Question

Por eso suelo empezar mis preguntas aquí con un "estoy seguro de que es una pregunta estúpida", pero esta vez estoy aún más convencido de que es verdad. Estamos intentando encontrar una solución $S$ de la ecuación de Hamilton Jacobi. A menudo se dice de pasada que si una cierta coordenada generalizada '' $q_k$ y sus derivados $ \partial S/\partial q_k$ aparecen juntos como una única función

$\psi \left(q_k, \frac{\partial S}{\partial q_k} \right)$

en el Hamiltoniano

$H = H(q_1,q_2,\ldots, q_{k-1}, q_{k+1},\ldots, q_N; p_1,p_2,\ldots, p_{k-1}, p_{k+1},\ldots, p_N; \psi; t). $

entonces la función ''S'' puede dividirse en dos funciones, una que depende sólo de ''q_k'' y otra que depende sólo de la coordenada generalizada restante.

$S = S_k(q_k) + S_\text{rem}(q_1,\ldots, q_{k-1}, q_{k+1}, \ldots, q_N, t). $

Se dice tan despreocupadamente en todas partes, que supongo que este hecho es totalmente obvio para todo el mundo menos para mí, pero desgraciadamente no lo es para mí. ¿Está claro, una vez que tenemos la condición anterior, que CUALQUIER solución del Hamilton Jacobi es separable? ¿Alguien puede aclararlo? Gracias :)

Answer 1

No debes sentirte estúpido ante esta pregunta: el formalismo Hamilton-Jacobi es peliagudo, lo que lleva a varios autores a exponer el tema de forma un tanto confusa...

Una solución $S$ a la ecuación de Hamilton-Jacobi (asociada a una función hamiltoniana $H$ ) parametriza indirectamente algunos (especiales) sub conjunto de soluciones de las ecuaciones de Hamilton para unas intervalo de tiempo . En particular, dado $S$ siempre hay soluciones a las ecuaciones hamiltonianas que no están descritas por $S$ . Esta interpretación de $S$ como "elección de un subconjunto de soluciones a las ecuaciones de Hamilton" sugiere que podría ser posible elegir un subconjunto complicado que no esté descrito por una función separable $S$ incluso cuando $H$ es separable.

Para encontrar un ejemplo de este tipo, se puede trabajar hacia atrás: considere $S(q_1,q_2,t) = q_1q_2$ que evidentemente no es separable (en esas coordenadas). Queremos encontrar $H$ de forma que $S$ describe un subconjunto de soluciones de las ecuaciones de Hamilton para $H$ . Suponiendo que tal $H$ existe, el formalismo de Hamilton-Jacobi implica aquí $p_1 = \partial S/\partial q_1 = q_2$ , $p_2 = \partial S/\partial q_2 = q_1$ (para las soluciones que $S$ describe) y $\partial S/\partial t = 0$ . La imposición de la ecuación de Hamilton-Jacobi $$H(q_1, \partial S/\partial q_1, q_2, \partial S/\partial q_2, t) + \partial S/\partial t = 0$$ limita las posibles $H$ ; es fácil ver que la elección $H := p_1 q_1 - p_2 q_2$ resuelve esta restricción, y que es una función Hamiltoniana separable.

Para un contraejemplo algo más relevante físicamente, consideremos dos partículas libres, $$H = \frac{p_1^2}{2} + \frac{p_2^2}{2} ,$$ y considerar la función no separable $$ S(q_1, q_2, t) = \frac{(q_1 + q_2)^2}{4t} \, .$$

Dicho esto, normalmente se intenta resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi precisamente para encontrar algún conjunto de soluciones a las ecuaciones de Hamilton; para encontrar algún conjunto "simple" de soluciones (correspondiente a una "simple" $S$ ) podría dar una visión mucho mejor sobre el sistema físico que cualquier conjunto. Teniendo esto en cuenta, para buscar funciones separables $S$ cuando $H$ es separable podría ser lo pertinente.