Equivalencia de las propiedades que definen los morfismos no ramificados

Question

SGA I.3 afirma las siguientes tres propiedades de un morfismo de tipo finito $X \rightarrow Y$ son equivalentes (Sea $x \in X$ , $y = f(x)$ :

Sea $A$ sea el tallo de $X$ en $x$ y $B$ sea el tallo de $Y$ en $y$ . Sea $m_a, m_b$ sean sus respectivos ideales máximos. El morfismo de láminas determina entonces un morfismo $g$ de anillos locales en la otra dirección.

i.) $g(m_b)$ genera $m_a$ y $\frac{A}{m_a}$ es una extensión separable finita de $\frac{B}{m_b}.$

ii.)El tallo de $\Omega^1_{X/Y}$ es 0 en $x$ .

iii.)El morfismo diagonal es una inmersión abierta en una vecindad de $x$ .

No entiendo su prueba de que i.) implica ii.); sólo está escrito que la de Nakayama lo reduce inmediatamente al caso en que X e Y son espectros de campos. ¿Alguien puede explicarlo?

Answer 1

Podemos suponer que $X=Spec(S), Y=Spec(R)$ son afines.
Sea $\phi : R\to S$ sea el morfismo de anillo correspondiente a $f:X=Spec(S)\to Y= Spec(R)$ .
Los puntos $x\in X, y\in Y$ corresponden a ideales primos $\mathfrak q\subset S$ y $\mathfrak p=f^{-1}(\mathfrak q)\subset S$ .
La hipótesis implica que $\phi$ induce una extensión separable finita $\bar \phi:\kappa (\mathfrak p)\to \kappa(\mathfrak q)$ de los campos residuales, y la separabilidad de esta extensión finita implica que $\Omega_{\kappa(\mathfrak q)/\kappa (\mathfrak p)}=0$ .

Ahora $\Omega_{\kappa(\mathfrak q)/\kappa (\mathfrak p)}=\Omega_{S_\mathfrak q/R_\mathfrak p}/ \phi(\mathfrak p) \Omega_{S_\mathfrak q/R_\mathfrak p}$ por cambio de base y, por tanto $0=\Omega_{\kappa(\mathfrak q)/\kappa (\mathfrak p)}=\Omega_{S_\mathfrak q/R_\mathfrak p}/ \phi(\mathfrak p) \Omega_{S_\mathfrak q/R_\mathfrak p}=\Omega_{S_\mathfrak q/R_\mathfrak p}/ \mathfrak q \Omega_{S_\mathfrak q/R_\mathfrak p}$ la última igualdad se debe a $\phi(\mathfrak p)S_{\mathfrak q}=\mathfrak qS_{\mathfrak q}$ .
Por tanto, Nakayama puede aplicarse al módulo $\Omega_{S_\mathfrak q/R_\mathfrak p}$ sobre el anillo local $S_\mathfrak q$ :
de $\Omega_{S_\mathfrak q/R_\mathfrak p}/ \mathfrak q \Omega_{S_\mathfrak q/R_\mathfrak p}=0$ concluimos que $\Omega_{S_\mathfrak q/R_\mathfrak p}=0$ .
Por último, basta con señalar que $(\Omega_{X/Y})_x=\Omega_{S_\mathfrak q/R_\mathfrak p}$ para obtener la igualdad requerida $(\Omega_{X/Y})_x=0$

Un recordatorio en teoría de campos
Utilicé que una extensión algebraica separable de campos $k\subset K$ tiene módulo trivial de diferenciales de Kähler: $\Omega _{K/k}=0$ .
En efecto, si $d:K\to \Omega _{K/k}$ es la derivación universal y si $a\in K$ tiene un polinomio mínimo $f(x)$ en $k$ entonces $f(a)=0$ implica $d(f(a))=f'(a)da=0$ y así $da=0$ desde $f'(a)\neq 0$ por separabilidad de $a$ .
Desde $da=0$ es válido para $a\in K$ concluimos que $\Omega _{K/k}=0$ .